INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
A Estatística é um ramo da matemática que serve para análise da interpretação e
apresentação de massas de dados numéricos. Se você não é muito familiarizado com
matemática, isso pode te assustar, mas vai por mim, será muito mais fácil do que você
imagina. Para começar, vamos falar sobre os temas mais simples de tudo o que veremos
em estatística: a moda e a mediana.
Moda
A moda é uma medida de tendência central com objetivo de apontar a frequência de um
dado resultado dentro de uma série histórica.
Pensa assim: quando uma coisa está na moda, mais pessoas a usam. Na estatística
não é diferente.

Moda é o valor que ocorre com maior frequência em uma série de valores. Considerando
que uma ação teve as seguintes oscilações nos primeiros 5 dias de um determinado mês:
⯀ 1 ⇒ + 3%;
⯀ 2 ⇒ + 4%;
⯀ 3 ⇒ − 2%;
⯀ 4 ⇒ − 2%;
⯀ 5 ⇒ + 1%;
A Moda é −2%, pois o valor aparece duas vezes (contra uma vez de cada outro valor). Fácil, não?
Isso é importante para, por exemplo, analisar uma série histórica de variação no preço
de uma ação.
Um conjunto de resultados pode apresentar uma ou mais modas, sendo classificado como:
⯀ 1 moda = unimodal;
⯀ 2 modas = bimodal;
⯀ 3 ou mais = multimodal.
A série que estudamos acima é uma série unimodal, pois somente o número -2 se repete.
Agora se tivermos, por exemplo:
⯀ 1 ⇒ + 3%;
⯀ 2 ⇒ + 4%;
⯀ 3 ⇒ − 2%;
⯀ 4 ⇒ − 2%;
⯀ 5 ⇒ + 4%;
Nesse caso teríamos uma série bimodal, pois os números -2 e o número 4 repetem a
mesma quantidade de vezes.
Mediana
A Mediana é muito simples de entender (e de calcular). Quer ver?
Em suma, ela é o valor que divide o conjunto em dois subconjuntos, em que estes subconjuntos
formados terão exatamente a mesma quantidade de elementos.

Vamos usar um exemplo de amostra ímpar para apresentar o cálculo da mediana.
Considerando que uma ação teve as seguintes oscilações nos primeiros 5 dias de um
determinado mês:
⯀ 1 ⇒ + 3%;
⯀ 2 ⇒ + 4%;
⯀ 3 ⇒ − 2%;
⯀ 4 ⇒ − 3%;
⯀ 5 ⇒ + 1%.
A primeira coisa a fazer é colocar as oscilações em ordem crescente (ou decrescente):
– 3%; – 2%; + 1%; 3%; 4%.
Assim, a Mediana é o valor central do conjunto. Neste exemplo, o valor + 1%.
E se tivermos uma amostra de dados par?
Considerando que uma ação teve as seguintes oscilações nos primeiros 4 dias de um
determinado mês:
⯀ 1 ⇒ + 3%;
⯀ 2 ⇒ + 4%;
⯀ 3 ⇒ + 2%;
⯀ 4 ⇒ + 6%.
Colocando as oscilações em ordem crescente (+ 2%; + 3%; + 4%; + 6%), a Mediana será a
média entre os valores centrais:
= 3,5
Assim, a mediana de uma amostra de dados par é a média aritmética simples dos
elementos que estão equidistantes das extremidades da série. E por falar em média,
é sobre isso que vamos falar agora.

Média
A média é uma medida de tendência central que busca o valor médio de uma série histórica.
Para entendermos bem esse conceito, imagine que você tenha comprado uma ação
que no primeiro mês tenha valorizado 10% e no segundo mês teve uma perda de 10%. O
quanto essa ação valorizou ao final do segundo mês? Faz sentido para você que todos (ou
quase todos) os ganhos foram anulados pelas perdas? Na média, então, o retorno foi zero.
Vamos entender a aplicação disso na prática. Imagine que compramos ações da Eletrobrás
e nos 5 meses em que mantivemos essa ação o resultado foi conforme os números abaixo.
⯀ Mês 1 ⇒ + 1%
⯀ Mês 2 ⇒ + 6%
⯀ Mês 3 ⇒ − 2%
⯀ Mês 4 ⇒ − 1%
⯀ Mês 5 ⇒ + 2%
O fato de ter valorizado 6% no segundo mês não quer dizer nada, já que ocorreram perdas
em meses futuros, certo? O que importa para a gente (e para o investidor) é o retorno médio.
Podemos calcular o “retorno médio” deste ativo calculando a média destes valores. Isso é
feito somando os valores dos meses e dividindo-os pelo número de fatores. Ou seja:
1 + 6 + (-2) + (-1) + 2 = 6
Dividimos esse valor por 5, que é o número de meses utilizados na amostra. Chegamos,
então, na seguinte fórmula:
média ⇒ média 1,20

Assim, concluímos que a ação da Eletrobrás possui média igual a 1,20%. Em outras palavras,
o investimento pagou 1,80% ao mês, em média. Simples assim.
Um ponto importante sobre esse assunto é que, para sua prova da CPA-20, não é necessário
fazer contas. A ANBIMA vai cobrar somente o conceito, ok?

Agora, se observarmos com carinho, vamos perceber que a série histórica que usamos
como exemplo teve variações de um mês para o outro. Faz sentido? Essa variação é chamada
de variância e é sobre isso que vamos falar agora.
Variância
Uma vez que entendemos a média é possível encontrar a variância e medir o grau de
dispersão de um conjunto de dados pelos desvios em relação a média desse conjunto.
Em outras palavras, a Variância indica “o quão longe”, em geral, os seus valores se
encontram do valor esperado. Traduzindo para um português mais claro: é o quanto
o ativo varia em função de sua média.
Assim, considerando que a ação da Eletrobrás teve as oscilações nos 5 meses:
⯀ Mês 1 ⇒ + 1%
⯀ Mês 2 ⇒ + 6%
⯀ Mês 3 ⇒ − 2%
⯀ Mês 4 ⇒ − 1%
⯀ Mês 5 ⇒ + 2%

A gente já sabe calcular a média desse investimento, pois fizemos no tópico anterior, determinando
que ela é 1,2, certo? Pergunto a você, meu nobre gafanhoto, o quanto o resultado
dos meses variava se comparamos com a média?
A resposta é 9,7. Fiz mágica para chegar nesse valor? Não. Usei matemática, mesmo. Assim, ó:
var = Σ
(n-x)2
n-1
var =
(1-1,20)2+(6-1,20)2+(-2-1,20)2+(-1-1,20)2+(2-1,20)2
4
Resultado: 9,70

Para que serve a variância? Para nada! Na verdade, a variância não tem nenhuma aplicação
prática no mercado, mas é fundamental conhecermos a variância para encontrarmos o
que de fato nos interessa: o desvio padrão.
Desvio Padrão
O Desvio Padrão é a medida de risco para calcularmos a volatilidade de um ativo. Em
outras palavras, com o desvio padrão podemos mostrar, matematicamente, o risco
de determinado investimento.
Para encontrarmos o desvio padrão, basta extrairmos a raiz quadrada da variância.
No exemplo do tópico anterior, temos variância igual a 9,7. Logo, temos desvio padrão
igual a √9,7 = 3,11.
Ou seja, na amostra de dados que estamos estudando desde a média, temos um risco
de mercado de 2,6%. O ponto mais importante aqui para a sua prova da CPA-20 é: quanto
maior for o desvio padrão de um ativo, maior será o risco de mercado desse ativo.
Agora que você entendeu como calcular o risco de um determinado ativo, que tal aprendermos
a probabilidade de um investimento dar um determinado retorno? Para isso
vamos estudar a curva de Gauss.
Distribuição Normal
Imagine que você tenha um investimento com média de retorno 2% e desvio padrão 1%.
Seu cliente quer saber qual a probabilidade de, no próximo mês, esse investimento dar
uma rentabilidade de 3%. Como encontrar essa resposta?
Num passe de mágica (e com um pouco que matemática), você pode ter essa resposta
se souber usar a distribuição normal.

A Distribuição Normal, também conhecida como curva de Gauss, explica a probabilidade
de um evento ocorrer.
Observe o gráfico a seguir:
Entendeu? Acho que falta uma explicação sem tanto “matematiquês”, certo?
Vamos lá: essa teoria afirma que, quando temos uma média e um desvio padrão, é
possível afirmar qual a probabilidade de um evento acontecer no futuro obedecendo a
seguinte distribuição.
Vamos usar o exemplo do começo desse tópico para ficar claro.
Se eu tenho um investimento de média 2 e desvio padrão 1, significa que eu tenho 68,26% de
probabilidade de ter, no próximo mês, uma rentabilidade no intervalo compreendido entre [1,3].
Como chegamos a essa conclusão?
Cálculo para um desvio padrão:
⯀ 2% (média) – 1% (um desvio padrão) = 1%;
⯀ 2% (média) + 1% (um desvio padrão) = 3%.

Assim é de se esperar que os retornos deste fundo estejam entre:
⯀ 1 a 3% Com aproximado 68% de confiança.
Vamos explorar um pouco mais? E se usarmos 2 desvios padrão?
Cálculo para dois desvios padrão:
⯀ 2% (média) – 2% (dois desvios padrão) = 0%;
⯀ 2% (média) + 2% (dois desvios padrão) = 4%.
Assim é de se esperar que os retornos desse fundo estejam entre:
⯀ 0% a 4%. Com aproximadamente 95,44% de confiança.
Para obter-se exatamente 95% de probabilidade, é necessário utilizarmos 1,96 desvios padrão.
Quer ter ainda mais confiança na análise?
Cálculo para três desvios padrão:
⯀ 2% (média) – 3% (três desvios padrão) = –1%;
⯀ 2% (média) + 3% (três desvios padrão) = 5%.
Assim é de se esperar que os retornos desse fundo estejam entre:
⯀ –1% a 5%. Com aproximadamente 99% de confiança.

Covariância
A covariância é uma medida que avalia como as variáveis X e Y se inter-relacionam de forma
linear. Ou seja, como Y varia em relação a uma determinada variação de X.
Na prática deveremos enxergá-la assim: se a taxa de juros sobe, o preço das ações da Vale
cai; se o preço do Dólar sobe, o preço das ações da Petrobras também sobe.
Quando a covariância é positiva, duas variáveis tendem a variar na mesma direção; isto é, se
uma sobe, a outra tende a subir e vice-versa. Quando a covariância é negativa, duas variáveis
tendem a variar em direções opostas; isto é, se uma sobe a outra tende a cair e vice-versa.

Quanto mais próxima de zero for a covariância, menor a possibilidade de se identificar um
comportamento interdependente entre as variáveis.
A covariância entre duas variáveis pode ser obtida de dados de variância. Para isso, precisamos
ter a variância dos dois ativos analisados e incorporá-los à seguinte fórmula matemática:
cov (X,Y) =
var (aX + bY) – a2 var (X) – b2 var (Y)
2ab
Onde:
⯀ Var(X) é a variância do ativo X;
⯀ Var(Y) é a variância do ativo Y;
⯀ Var(X+Y) é a variância dos ativos X e Y obtida a partir da soma simples das variáveis X e Y;
⯀ “a” e “b” são constantes.
E você achou que nunca fosse usar tudo aquilo que aprendeu no ensino médio com
aquele professor de matemática, hein? Agora aprenderemos sobre Correlação. Isso fará
você entender, na prática, como usamos esses dados.
Pergunto a você: para que serve a covariância? Para nada! Em termos práticos, a covariância
não tem muita utilidade, mas precisamos dela para encontrar a correlação

Correlação
Como eu falei acima, não utilizamos muito a covariância em investimentos, mas a utilizamos
para medir a correlação de dois ou mais ativos. Basicamente, com a correlação queremos
mostrar o quanto 2 ativos podem estar correlacionados.
Deixe-me dar um exemplo: no ano de 2018 os caminhoneiros no Brasil fizeram uma greve
para protestar contra a política de preços da Petrobras, lembra disso? O alvo do protesto
era a Petrobras, mas o resultado foi: crise de abastecimento de alimentos no Brasil inteiro,
prejuízos milionários para os produtores (pequenos e grandes) rurais espalhados pelo País

O ponto é o seguinte: a matéria-prima da Petrobras, o petróleo, faz parte da matriz energética
de quase todas as empresas. Em outras palavras, para que outras empresas possam
desempenhar bem suas atividades, elas precisam que a Petrobras esteja em plena
condição de fornecer combustível ao mercado.
Em resumo: a Petrobras, devido a seu produto, está correlacionada com quase todos
os setores da economia. Acontece que conseguimos, através da fórmula abaixo, saber
exatamente o quão correlacionados estão 2 ativos. No caso podemos saber, por exemplo,
como a Petrobras está correlacionada com a ação do GPA (Grupo Pão de Açúcar).
Se você está atento, viu que estamos usando a covariância nessa fórmula.
Px,y =
COVxy
σx x σy
O ponto principal de tudo isso é que a correlação entre dois ativos estará sempre no conjunto
numérico compreendido entre -1 e 1. Em outras palavras, o coeficiente de correlação
será sempre maior ou igual a -1 e menor ou igual a 1.
Se a correlação entre 2 ativos for igual a 1, indica que os ativos são perfeitamente correlacionados
e que, nesse caso, quando um ativo sobe, o outro sobe na mesma proporção.
Se a correlação entre 2 ativos for igual a -1, indica que os ativos são inversamente correlacionados
e que, nesse caso, quando um ativo sobe, o outro cai na mesma proporção.
Se a correlação entre 2 ativos for igual a 0, indica que os ativos não possuem relação entre si.
Alguns pontos importantes sobre a correlação:
⯀ a correlação é um indicador que aponta o quanto uma carteira de investimentos
é diversificada;
⯀ quanto mais próximo de -1 for a correlação da carteira, maior será a eficiência
de sua diversificação;
⯀ quanto mais próximo de 1 for a correlação da carteira, menor será a eficiência
da diversificação.

Coeficiente de Determinação
A gente já entendeu a função da correlação, certo? Como seria se eu (ou você) pudesse
explicar a variação de preços das ações do GPA com base nas mudanças da Petrobrás?
Seria legal, né? Isso é possível graças ao coeficiente de determinação. Para isso, basta
elevar a correlação ao quadrado.
Exemplo: se assumirmos que a correlação entre essas duas empresas é de 0,77, temos que o
coeficiente de determinação, também chamado de R2, será de 0,772 e terá como resultado 0,6.
Nesse caso poderíamos afirmar que 60% das variações de GPA podem ser explicadas com
base na variação da Petrobrás.

Gestão de riscos e performance
Agora que já vimos como usar estatística na mensuração de riscos dos investimentos,
vamos falar da gestão propriamente dita. Veremos como usar esses indicadores para controlar
o risco dos investimentos. Para começar, vamos entender como um título de renda
fixa está exposto às variações de preços de mercado partindo do conceito de duration.
Risco da taxa de juros
Antes de falarmos da duration de Macaulay, vou apresentar rapidamente o conceito de
risco da taxa de juros.
O risco da taxa de juros está associado ao risco de alteração na taxa básica de juros da
economia, a Taxa Selic.
Esse risco é percebido quando, por exemplo, um investidor investe em um CDB prefixado
e assume o risco da taxa de juros subir, de forma que seu investimento terá um rendimento
menor em relação a taxa de juros vigente.

Gestão de riscos e performance
Agora que já vimos como usar estatística na mensuração de riscos dos investimentos,
vamos falar da gestão propriamente dita. Veremos como usar esses indicadores para controlar
o risco dos investimentos. Para começar, vamos entender como um título de renda
fixa está exposto às variações de preços de mercado partindo do conceito de duration.
Risco da taxa de juros
Antes de falarmos da duration de Macaulay, vou apresentar rapidamente o conceito de
risco da taxa de juros.
O risco da taxa de juros está associado ao risco de alteração na taxa básica de juros da
economia, a Taxa Selic.
Esse risco é percebido quando, por exemplo, um investidor investe em um CDB prefixado
e assume o risco da taxa de juros subir, de forma que seu investimento terá um rendimento
menor em relação a taxa de juros vigente.

Duration de Macaulay
A Duration funciona como termômetro que mede o quão sensível um ativo ou passivo
é em relação a taxa de juros.
A tradução de duration nos ajuda a entender que estamos falando de duração de um título,
certo? A gente sabe que um título tem um vencimento e que esse vencimento pode ser
confundido com a duração desse papel. O ponto é que um título que paga cupom periódico
ao investidor tem uma duration menor do que o vencimento do papel.
Vamos fazer algumas analogias para entendermos isso de uma forma mais simples:
imagine que você tenha emprestado a mim R$ 10.000,00. Preciso te pagar em dois anos
esse valor acrescido de R$ 2.000,00. Nesse caso, “durante” dois anos 100% do seu dinheiro
estará em meu poder. Por isso, podemos dizer que a duration desse título é de 2 anos.
Agora imagine que eu tome os mesmos R$ 10.000,00 com a mesma condição de juros,
porém com promessa de pagamento de R$ 500,00 por mês durante os 2 anos. Faz sentido
para você que eu não terei 12.000,00 durante todo o período e que você também
vai receber os recursos antes?
Assim assumimos que, devido a você ir recebendo durante o período, o seu risco é
diminuído. Faz sentido?

A duration serve justamente para que possamos calcular o prazo médio de recebimento
de um ativo (ou uma carteira) com o objetivo de entender o quanto uma carteira com
títulos de renda fixa pré-fixados pode estar exposta ao risco de mercado.
Lembra que, nos módulos anteriores, a gente falou sobre o PU de um título de renda fixa e
sua respectiva marcação a mercado? Um título pré-fixado está sempre sujeito a mudança
de preços em função da mudança de taxa de juros de mercado e quanto maior for o prazo
deste título, maior será sua exposição a esse risco.
A duration nos permite, justamente, saber o prazo correto de um título que paga
cupom. Já esse título, que “antecipa” pagamentos ao investidor, terá uma duration
menor que o prazo de vencimento.

Em resumo: um título zero cupom terá sua duration igual ao seu prazo de vencimento;
um título com cupom terá sua duration menor que o prazo de vencimento do papel.
Assim, a título de comparação, uma LTN que tem o mesmo vencimento que um NTN-F
terá uma duration maior e, por isso, uma exposição ao risco de mercado também maior.
Duration de Macaulay Modificada
Uma evolução da Duration de Macaulay é a duration modificada. Uma vez que a Duration
de Macaulay consegue calcular o prazo médio de recebimento de um título ou de uma
carteira, a duration modificada consegue projetar o quanto um título, ou uma carteira,
estão sensíveis às mudanças nas taxas de juros de mercado.
Imunização

O termo imunização significa construir uma carteira de títulos de forma a torná-la imune
a variações nas taxas de juros.
Para imunizar uma carteira ou posição, devemos primeiro encontrar a duration, pois
a duration é uma ferramenta de hedge, que tem como objetivo medir a sensibilidade
do ativo ou passivo em relação a taxa de juros.
Essa medição é feita através da média ponderada entre as durations dos ativos e passivos
do balanço, tudo com preços dados pelo mercado.
Convexidade
Convexidade é o efeito de segunda ordem que descreve como a duration sofre alterações
conforme muda a taxa de retorno.

Convexidade é uma característica desejável para a administração de carteira de ativos.
Quanto maior ela for, maior será a proteção (hedge) contra aumentos de taxas de juros.
Ativo
Ativo pode ser entendido como um bem com algum valor comercial, e que pode ser negociado
entre duas partes. Um ativo pode ser uma ação, por exemplo, ou uma commodity, um
título público federal, um CDB; enfim, todo bem financeiro a ser negociado entre dois agentes.
Alavancagem
Um fundo é considerado alavancado sempre que o risco de perda for maior que zero,
desconsiderando o risco de crédito, que ocorre em caso de inadimplência de um título.
Fundos com gestão ativa podem fazer operações no mercado de ações ou derivativos, de
modo a aumentar o risco do fundo, em um operação de derivativos que o fundo recorra
a uma operação de venda de ações a descoberto, apostando na baixa do preço da ação,
caso o valor oscilou positivamente o fundo terá prejuízo na operação.
Risco Mercado Externo
De acordo com o próprio CMN (Conselho Monetário Nacional) em sua resolução 3467 a
definição de risco é a possibilidade de ocorrência de perdas resultante das flutuações nos
valores de mercado das posições.
Nesta definição estão incluídos fatores como taxa de juros, preço das ações, preço das commodities
e principalmente quando se fala de mercado externo o risco da variação cambial.

Risco de Variação Cambial
Quando um investidor possui recursos no mercado externo o valor do seu patrimônio
pode sofrer oscilações devido a variação da taxa de câmbio.
Por exemplo: o chamado IED “Investimento Estrangeiro Direto” ou mesmo indireto (aplicação
através de ações e títulos) pode sofrer perdas em moeda corrente nacional mesmo
com a obtenção de retornos positivos. Isso pode ocorrer devido a uma variação negativa
na flutuação de câmbio. Isso seria o risco de variação cambial.
Podemos utilizar os meses de Janeiro a Agosto de 2016 como exemplo da importância do
risco cambial. Nos oito primeiros meses de 2016 o dólar, principal unidade monetária no
mercado internacional, teve uma desvalorização de quase 20% frente ao real. Nestes termos,
para que um investidor brasileiro tenha um retorno positivo em sua aplicação, seria
necessária uma rentabilidade superior a 20%.
Principais Riscos de Mercado Externo
Risco Operacional: é muito comum com operações externas uma vez que o investidor fica
suscetível a falhas nos mais diversos sistemas de pagamentos. Uma simples indisponibilidade
nos serviços de internet, corretora de câmbio ou mesmo banco pode acarretar perdas.
Risco Legal: Este termo foi muito falado durante o processo de impeachment da presidente
Dilma em 2016. Este tipo de risco está relacionado a confiabilidade jurídica de um
país, ou seja, o quanto a legislação deste é obedecida ou não.
Risco de Mercado: este é o risco da volatilidade. Este tipo de risco é muito comum no mercado
de renda variável onde os preços sofrem constante oscilação. Lembre-se que o risco de
mercado também está presente na renda fixa. Quando ocorre uma alteração na taxa básica
de juros da economia (SELIC) ocorre uma grande volatilidade no preço dos títulos públicos.
Outros Riscos: Existe uma infinidade de riscos. No Brasil muito se fala também sobre o
Risco Jurídico e Risco Fiscal onde um decreto governamental pode alterar a legislação
sobre determinado investimento acarretando prejuízo aos investidores

Coeficiente Beta (β)
Lá atrás, na Grécia Antiga, acho que ninguém imaginou que a segunda letra do alfabeto
helenístico seria usada em uma apostila de CPA-20. Mas fazer o quê?
O Índice Beta é um indicador que mede a sensibilidade de um ativo em relação ao comportamento
de uma carteira que represente o mercado. É a relação entre a variação do
retorno de uma ação (ativo) e o Ibovespa (mercado), por exemplo.
Portanto, o Índice Beta é uma medida do risco que um investidor está exposto ao investir
em um ativo em particular em comparação com o mercado como um todo.
Para calcular o beta de uma carteira ou de uma ação temos de lançar mão do nosso
conhecimento estatístico:
β =
cov (ra,rm)
var Rm
Basicamente, o que temos aqui é: o beta é igual a covariância da carteira de mercado (Ibovespa,
por exemplo) com uma ação específica dividida pela variância da carteira de mercado.
Tudo isso parece confuso, né? Vou deixar as coisas mais fáceis para você. O resultado do
coeficiente beta será analisado em 3 cenários, apenas:
1. beta igual a 1: aqui indica que a ação estudada (ou carteira) tem a mesma variação
que o benchmark de mercado
2. beta maior que 1: aqui indica que a ação estudada (ou carteira) terá uma variação
maior que o benchmark de mercado.
3. beta menor que 1: aqui indica que a ação estudada (ou carteira) terá uma variação
menor que o benchmark de mercado.

Vamos usar alguns exemplos com gráficos que ajudarão sua compreensão.
Cenário 1: beta de 1,5 (maior que 1)
Na imagem acima, temos o seguinte: a barra cinza indica a variação do Ibovespa no período
e a barra azul indica a ação estudada. Perceba que quando o Ibovespa cai, a ação cai
muito mais, e quando o Ibovespa sobe, a ação sobe ainda mais.
Cenário 2: beta de 0,5 (menor que 1)
Analisar a imagem acima é bem simples se você entendeu a análise anterior. Aqui,
quando o Ibovespa sobe, a ação sobe menos que o Ibovespa, mas quando o Ibovespa
cai, a ação cai menos que o Ibovespa.

Cenário 1: beta de 1 (igual a 1)
Neste caso, como temos beta igual a um, a ação estudada se comporta exatamente como
o indicador de mercado.
Algumas conclusões importantes sobre o coeficiente beta:
⯀ o coeficiente beta, por usar como benchmark uma carteira de mercado, busca calcular
a exposição ao risco sistemático da uma carteira;
⯀ quanto maior for o beta, mais arrojada é a carteira estudada;
⯀ quando menor for o beta, mais conservadora é a carteira estudada.

Índice de Sharpe
Se eu dissesse a você que um investimento paga 50% de retorno ao mês, parece ser um
investimento atrativo. Diante dessa promessa incrível é provável que você desconfie dos
riscos desses investimentos, certo? Acontece que, no mercado financeiro, nem sempre
temos como saber sobre o risco de um dado investimento só olhando para a rentabilidade.
Para exemplificar com um caso mais real, imagine a seguinte situação: você precisa escolher
dois produtos de investimentos que entregaram média de 2% de rentabilidade. Qual dos
dois você escolhe? Se os dois produtos têm a mesma rentabilidade nós devemos buscar
aquele que tem menor risco, faz sentido?

Agora imagine que tenhamos de escolher entre outros 2 produtos, só que agora o que
sabemos é que ambos têm o mesmo risco. Nesse caso, qual escolher? Se temos o mesmo
risco, então devemos buscar aquele com maior rentabilidade. Faz sentido para você?
É aqui que entra o Índice de Sharpe, criado por William Sharpe (Nobel de Economia em
1990). Este índice é um indicador que permite avaliar a relação entre o retorno e o risco de
um investimento. Para calcular essa relação temos de lançar mão da seguinte fórmula:
IS =
Ra- Rf
σf
O que temos aqui é o seguinte: o retorno do fundo menos a taxa livre de risco de mercado,
dividido pelo desvio padrão do fundo.
Algumas conclusões importantes sobre o índice Sharpe:
⯀ mede a relação risco retorno de um ativo (ou carteira);
⯀ quanto maior for o índice Sharpe de um fundo, melhor será sua relação risco-retorno;
⯀ para dois fundos que apresentam a mesma rentabilidade, terá maior índice Sharpe
aquele que apresentar menor risco;
⯀ para dois fundos que apresentam o mesmo risco, terá maior índice Sharpe aquele
que apresentar maior rentabilidade.

Índice de Treynor
Se você entendeu bem como funciona o Índice de Sharpe, vai ficar bem fácil entender
como funciona o Índice de Treynor. Isso porque o Treynor tem exatamente a mesma função:
mensurar a relação risco-retorno do fundo de investimento.
O que difere o Treynor do Sharpe é somente a medida de risco utilizada:
IT =
Ra – Rf
βf
Como você pode ver na fórmula acima, o IT (Índice de Treynor) utiliza o beta da carteira
como medida de risco. Isso porque essa metodologia compreende que utilizar somente o
risco sistemático da carteira seria mais eficiente do que utilizar o risco total, afinal o risco
sistemático é o único risco do qual não conseguimos nos proteger.

De um modo geral, podemos utilizar os conceitos do índice Sharpe para resumir esse indicador:
⯀ mede a relação risco retorno de um ativo (ou carteira);
⯀ quanto maior for o índice Treynor de um fundo, melhor será sua relação risco retorno;
⯀ para dois fundos que apresentam a mesma rentabilidade, terá maior índice Treynor
aquele que apresentar menor risco;
⯀ para dois fundos que apresentam o mesmo risco, terá maior índice Treynor aquele
que apresentar maior rentabilidade.
Tracking Error X Erro Quadrático Médio
Aqui temos dois indicadores importantes para medir o quanto um fundo está ou não aderente
a seu benchmark. Basicamente, se tenho um fundo que tem objetivo de acompanhar
seu benchmark, seria interessante se eu pudesse medir o quão aderente esse fundo foi a seu
objetivo. Em outras palavras, seria o mesmo que dizer se ele bateu ou não a meta do fundo.
Imaginemos um fundo referenciado DI que tenha rendido 10% ao ano e que o DI, no mesmo
período, tenha rendido 12%. Nesse caso, esse fundo está descolado do seu benchmark.

Em resumo: quanto maior for o Tracking Error de um fundo, menos aderente esse
fundo está se comparado a seu benchmark. Estes indicadores não nos apontam
qual é o melhor ou pior fundo, mostram apenas o quão aderente é o fundo a seu
benchmark. Quanto menor for esse indicador, mais aderente é o fundo.
Value at Risk (VAR)
O Value at Risk é conhecido como VAR (esse VAR aqui chegou muito antes do árbitro de
vídeo no futebol) e é uma metodologia que mensura o quanto um fundo ou carteira pode
perder em valor de mercado dentro de um determinado período de tempo.

Com base nas ferramentas estudadas aqui (estatística e demais indicadores), o gestor do
fundo monta um modelo de verificação que aponta qual a perda máxima potencial da
carteira do fundo de investimento em um determinado período.
Aqui vai um exemplo: um fundo de investimento que possui, em seu formulário de informações
complementares, “VAR de 1%, para 1 dia, com 95% de confiança”.
Nesse caso, significa dizer que esse fundo pode perder, em 1 dia, 1% do total do PL do
fundo com 95% de probabilidade.
Em resumo: o VAR é uma ferramenta de gestão de risco que vai informar ao investidor
o quanto do dinheiro dele está em risco em um determinado fundo
Mas sobra uma pergunta: como o gestor sabe se o fundo está ou não exposto a um risco
maior do que o permitido em sua metodologia de risco, o VAR? É aí que entra nosso
próximo tópico: o back testing.

Back Testing
Nós já sabemos que o VAR é um modelo de risco e que esse modelo deve estar previsto no
regulamento do fundo. Eu quero sugerir para você imaginar esse “modelo de risco” como
uma grande planilha de Excel, com as fórmulas devidamente configuradas e calculando
o quanto o fundo está exposto ao risco. Você vai entender onde quero chegar.
Faz sentido para você que o gestor está comprando e vendo ativos no mercado financeiro
para compor a carteira do fundo e que, diariamente, as taxas de juros de mercado
se alteram e que, por isso, pode haver uma mudança na exposição de risco da carteira?
É aí que entra o back testing. Em uma tradução livre, back testing seria algo como “voltar
para testar”. Em outras palavras, poderia ser “voltar e testar a metodologia de risco para
saber se está dentro dos limites estabelecidos pelo VAR”. É como se a gente “rodasse” as
fórmulas da nossa grande planilha de Excel. Viu como você ia entender?

A pergunta que fica é: e se, ao rodar o modelo de risco, o gestor percebe que a exposição da
carteira está maior do que o previsto no modelo? É aí que entra, no próximo tópico, o Stop Loss.
Stop Loss
O modelo de risco previsto no VAR deve ser medido diariamente pelo back testing e
caso o fundo tenha uma exposição ao risco maior do que o previsto no VAR, o gestor
deve acionar o Stop Loss.
Em tradução livre, o Stop Loss seria algo com “pare de perder”. Em outras palavras, o gestor
precisa proteger sua carteira contra as perdas superiores ao modelo de VAR.
Imagine que, em função de uma declaração do presidente dos EUA, há uma queda muito
grande no preço do dólar e por isso, um fundo que esteja posicionado no dólar pode ter
perdas potenciais maiores do que o previsto no VAR. Nesse caso o gestor do fundo deve:
⯀ se desfazer de suas posições em dólar para se enquadrar no VAR; ou
⯀ contratar derivativos para sua carteira com a intenção de fazer hedge para essa posição

Em resumo: o Stop Loss é acionado quando o fundo está exposto a um risco maior
do que o previsto no VAR e o gestor precisa proteger a carteira do fundo contra
essa potencial perda.

Stress Test
Para te explicar sobre o Stress Test, vou voltar aqui rapidinho em um trecho que escrevi
no VAR destacando um ponto importante:
“VAR de 1%, para 1 dia, com 95% de confiança”.
Esses 95% de confiança vêm da distribuição normal, mas o ponto aqui é que esse modelo
de risco prevê somente uma perda máxima em cenários normais de economia e mercado.
Acontece que se por qualquer motivo “vaza” uma gravação do presidente da república,
o mercado não estaria em cenários normais. Faz sentido? Estou querendo dizer que, por
diversos motivos, o mercado financeiro pode se estressar e nesse caso o VAR não serve
para nada. Para isso usamos o Stress Test.
Cenários de guerra, crises políticas, crises geopolíticas podem trazer um certo estresse
ao mercado, por isso é importante ter uma medida de risco que mensure essas variáveis.
Nisso, o stress test é o “cara”.

Em resumo: o VAR mede a perda máxima potencial de um f undo em condições
normais de mercado. O Stress Test mede essa perda máxima potencial em cenários
de estresse de mercado

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