MATEMÁTICA FINANCEIRA


ÍNDICE

MANUAL DO CURSO DE FORMAÇÃO DE TÉCNICOS
EM TRANSAÇÕES IMOBILIÁRIAS
T.T.I.

 

Apresentação
Números e grandezas proporcionais
Razões e proporções
Regra de sociedades
Regra de três
Porcentagem
Preço de venda, lucros e prejuízos
Custos
Juros
Desconto
Capitalização
Inflação
Títulos de crédito
Amortização
Leasing
Bibliografia

 

APRESENTAÇÃO

A Matemática contribui para estruturar o pensamento e o raciocínio, ajudando a
resolução de situações das mais variadas atividades humanas, preparando o estudante
para sua atuação no mercado de trabalho em diferentes carreiras. No caso do
profissional de transações imobiliárias são-lhe indispensáveis de diferentes habilidades e conhecimentos específicos para que possa informar, orientar e oferecer segurança ao seu cliente. Dentre esses conhecimentos e habilidades, inclui-se, com
destaque, a linguagem da Matemática Financeira.

Nesse sentido, o presente trabalho foi elaborado com ênfase na matemática financeira
básica e fundamental necessária à realização da compra, venda e locação de imóveis,
incluindo operações sobre mercadorias, taxas de juros, inflação e regimes de
capitalização.

O estudo do regime de Capitalização Simples é o cenário principal desta seção. Nela é
abordada a conceituação de juros simples, montante simples, desconto simples,
cálculo de taxa acumulada, sempre com a utilização de vários exemplos.

Todas as negociações financeiras têm como suporte um dos regimes de capitalização.
A matemática foi, gradativamente, aplicada ao comércio e às finanças devido à
necessidade de melhor entendimento entre as relações de troca, para a utilização das
melhores taxas em empréstimos e investimentos, para se fazer previsões de
movimentação de capital no mercado, para cálculo de juros, montante, descontos.

A despeito da enorme disponibilidade de ferramentas produzidas pela alta tecnologia, a
Matemática Financeira deve ser bem entendida, pois o conhecimento e a informação
representam um grande poder para a execução de serviços, especialmente, em um
mercado que não é estático.

O estudo das questões de natureza econômica não é recente. Os antigos gregos já se
preocupavam com esse assunto e fizeram importantes contribuições. No entanto, o
nascimento da economia como corpo teórico de estudo, independentemente da política
e da filosofia, ocorreu em 1776, quando Adam Smith publicou “Uma investigação sobre
a natureza e as causas da riqueza das nações”.

Desde então, muita água passou sob a ponte, como o povo diz. A tecnologia massificou o uso das calculadoras eletrônicas, e já quase não se recorre aos cálculos na ponta do
lápis. Como consequência, o Sindicato dos Corretores de Imóveis do Estado do Rio
incluiu, no programa de aperfeiçoamento profissional que vem oferecendo por todo o
território fluminense aos associados e alunos do CAPRI, o Curso de Uso e Domínio da
Calculadora HP12C, com grande sucesso.
NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS¹

Grandeza

É todo valor que, ao ser relacionado a outro de certa forma, quando há a variação de um,
o outro, como consequência, varia também. Em nosso dia-a-dia, quase tudo se

¹ SANTOS, J. A–Matemática para Concursos -3ª parte –Juliobattisti.com.br–Acessado em 20/12/2010

3

associa a duas ou mais grandezas. Assim, quando falamos em: velocidade, tempo, peso, espaço, etc., estamos lidando diretamente com grandezas que estão relacionadas entre si.

Exemplo: Uma moto percorre um determinado espaço físico em um tempo maior ou menor dependendo da velocidade que ela poder chegar ou imprimir em seu percurso realizado.

A relação de dependência entre duas grandezas, conforme a condição apresentada, pode ser classificada como Diretamente proporcional ou Inversamente proporcional.

Grandeza Diretamente Proporcional:

Definem-se como Grandezas Diretamente Proporcionais aquelas nas quais a variação
de uma implica na variação ou mudança da outra, na mesma proporção, mesma direção
e sentido.

Exemplos:

a) 01 Kg de carne custa “Y”, se a pessoa comprar 02 Kg de carne então ela pagará “02
y”.
b) Se uma pessoa compra 10 borrachas ao custo de R$ 1,00, então se ela comprar 20
borrachas, o custo total será de R$ 2,00, calculado o preço unitário de R$ 0,10.
Grandeza Inversamente Proporcional

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a variação de uma implica
necessariamente na variação da outra, na mesma proporção, porém, em sentido e
direção contrários.

Exemplo: Velocidade e tempo. Um carro percorre a uma velocidade de 100 Km/h, o total
de 10 metros em 10 segundos. Se este mesmo carro aumentar para 200 km/h gastará
apenas 05 segundos para percorrer os mesmos 10 metros.

Razão e Proporção

Arazão entre dois números, dados em certa ordem, sendo o segundo número sempre
diferente de zero, é o quociente indicado do primeiro pelo segundo.

Exemplo: a razão de 09 para 12 =09/12 ou 09: 12

a razão de 05 para 10 =05/10 ou 05:10

a razão de 06 para 18 =06/18 ou 06:18

Observação Importante: 1) Lê-se: nove está para doze sendo que o 1º número
é o antecedente e 2º número é o consequente.

Então:
Cinco está para dez, sendo 05 o antecedente e 10 o consequente,

Seis está para dezoito, sendo 06 o antecedente e 18 o consequente.

Observação importante: 2) Quando o antecedente de uma razão for igual ao
consequente de outra, ou vice-versa, dizemos que formam duas razões inversas.
Ex: c/d e d/c

 Proporçãolink

Proporção é a sentença matemática que exprime igualdade entre duas razões.

2 = 4
5 3

Observação: Cada elemento de uma proporção é denominado termo da proporção
sendo que os 1º e 3º termos são chamados de termos antecedentese os 2º e 4º são
chamados termos consequentese que os 1º e 3º termos de uma proporção formam os
meios e os 2º e 4º termos, formam os extremos.

Propriedades das proporções

1-Propriedade Fundamental

Em toda proporção o produto dos meios é sempre igual ao produto dos extremos.

2/5=4/10 » 5 x 4 =20 | 2 x 10 =20 >>> a/b=c/d  b*c = a*d

Aplicação:

7 / 8 =x / 40 onde 8 x X =produtos dos meios | 7 x 40 =produto dos extremos

Temos então: 8x =280, logo X =280/8=35.

2-Composição

Em toda proporção, a soma dos primeiros termos está para o primeiro ou para

o segundo, assim como a soma dos dois últimos está para o terceiro ou para o quarto
termo.
a/b = c/d

a+ b= c + d ou a + b = c + d
ac
bd
Aplicação:
A soma de dois números é 80 e a razão entre o menor e o maior é 2/3. Achar o
valor desses números.

a=menor; b=menor

a = 2a + b= 2 + 3
b3

a2

a + b = 80

Então, 80= 5a = 80 x 2 = 32
a2

5

Conclui-se: se o menor vale a =32, o maior então será 80 -32=48.

5

3-Decomposição

Em qualquer proporção, a diferença entre os dois primeiros termos está para o primeiro
ou para o segundo, assim como a diferença entre os dois está para o terceiro ou para o
quarto termo.

a/b = c/d

a- b= c – d ou a – b = c – d
ac
bd
Aplicação:
Determinar dois números, sabendo-se que a razão entre eles é de 7/3 e que a diferença
é 48.

a=maior ; b =menor
a/b = 7/3

a- b= 7 – 3
a7
a-b=48
48/a = 4/7

a = 48 x 7= 84
Portanto,
4

Se a -b=48, então b =84-48=36

4 -Em toda proporção a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes,
assim como qualquer antecedente está para seu consequente.

a/b = c/d   5/10=1/2

a+ c = a ou a + c = c
b + db
b + dd
Aplicação:
Calcular “a” e “b”, sendo que a+b =63 e a/3 =b/4

a + b = a,63 = a

a = 63 x 3= 27
3 + 4 = 3 7 3 7

a + b = b,63 = b

b = 63 x 4= 36
3 + 4 = 4 7 4 7

6

Então a soma de a+b =63, sendo a =27 e b =36=63.
5 -Em qualquer proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dos
consequentes, assim como qualquer antecedente está para o seu consequente.
6 – Em qualquer proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos
consequentes, assim como o quadrado de um antecedente está para o quadrado de
seu consequente.
Aplicação:
Aárea de um retângulo é de 150 m² e a razão da largura para o comprimento é
de 2/3. Encontrar essas medidas.
a=largura b =comprimentoa²=150 x 4 : 6 =100, a² =100, a =10
a=largura=10m, b =comprimento=15m
7- Em qualquer proporção, elevando-se os quatro termos ao quadrado, resulta em uma
nova proporção.
Aplicação:
Asoma do quadrado de dois números é 468 e a razão do menor para o maior é
de 2/3. Determinar esses números.
Logo, a² =144, a =12.
Observação O valor de “b” é calculado seguindo-se o mesmo procedimento
para calcular o valor de “a”.
a/b = c/d a – c = a ou a – b = abc – dcb – d =
a = c ac = a² ou ac = c²
b dbdb²oubdd²
a = 2 então a = b, a b = a² , 150 = a²
b 32 32×32²64a² + b² = 4 + 9 = 13, a² = 468 x 4 = 1444a²134a² + b² = 468, a = 2, a² = 2² = 4 então,
b3b²3²9
7

Divisão Proporcional²

Divisão em duas partes diretamente proporcionais: Para decompor um número M em
duas partes Ae B diretamente proporcionais a p e q, montamos um sistema com duas
equações e duas incógnitas, de modo que a soma das partes seja A+B=M, mas A/p=B/q

Asolução segue das propriedades das proporções:

O valor de K é que proporciona a solução pois:

A = K p e B = K q

Exemplo: para decompor o número 100 em duas partes A
e B diretamente
proporcionais a 2 e 3, montaremos o sistema de modo que A+B=100, cuja solução
segue de:

Segue que A=40 e B =60.

Exemplo: determinar números A
e B diretamente proporcionais a 8 e 3,
sabendo-se que a diferença entre eles é 60. Para resolver este problema, basta tomar
A-B=60 e escrever:

Segue que A=96 e B =36.

Divisão em várias partes diretamente proporcionais

Para decompor um número M em partes X, X, …, X
diretamente proporcionais a p, p,

12n
12

…, p
, deve-se montar um sistema com n equações e n incógnitas, sendo as somas

n

X
+X
+…+X
=M e p
+p
+…+p
=P.

12n
12n

² Baseado em SODRÉ, U. –
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/razoes/divprop.htm -Acessado em 20/12/2010

8

Asolução segue das propriedades das proporções:

Exemplo: para decompor o número 120 em três partes A, B e C diretamente
proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas, tal
que A+B+C=120 e 2+4+6=P. Assim:

logo A=20, B=40 e C=60.

Exemplo: determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, de
modo que 2A+3B-4C=120.

Asolução segue as propriedades das proporções:

logo A=-30, B=-60 e C= -90³.
Divisão em duas partes inversamente proporcionais
Para decompor um número M em duas partes Ae B inversamente proporcionais a p e q,

deve-se decompor este número M em duas partes Ae B diretamente proporcionais a 1/p

4

e 1/q, que são, respectivamente, os inversos de p e q
.

Assim, basta montar o sistema com duas equações e duas incógnitas, tal que A+B=M.
Desse modo:

O valor de K proporciona a solução pois: A=K/p e B=K/q.

Exemplo: para decompor o número 120 em duas partes A
e B inversamente
proporcionais a 2 e 3, deve-se montar o sistema tal que A+B=120, de modo que:

³ Também existem proporções com números negativos.
4O inverso de um número é o quociente de 1 por este número. Exemplos: o inverso de 2 é 1/2, o inverso de 3/5 é
5/3 e o de 1/5 é 5

9

Assim A=72 e B=48.

Exemplo: determinar números A
e B inversamente proporcionais a 6 e 8,
sabendo-se que a diferença entre eles é 10. Para resolver este problema, tomamos
A-B=10. Assim:

Assim: A=40 e B=30.

Divisão em várias partes inversamente proporcionais

Para decompor um número M em n partes X, X, …, X
inversamente proporcionais a p,

12n
1

p
, …, p
, basta decompor este número M em n partes X
, X
, …, X
diretamente

2n
12n

proporcionais a 1/p
, 1/p
, …, 1/p
.

12
n

Amontagem do sistema com n equações e n incógnitas, assume que X
+X
+…+ X
=M e

12
n

além disso

cuja solução segue das propriedades das proporções:

Exemplo: para decompor o número 220 em três partes A, B e C inversamente
proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas, de
modo que A+B+C=220. Desse modo:

Asolução é A=120, B=60 e C=40.

Exemplo: Para obter números A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6,
de modo que 2A+3B-4C=10, devemos montar as proporções:

10

Logo, A=60/13, B=30/13 e C=20/13.5

Divisão em duas partes direta e inversamente proporcionais

Para decompor um número M em duas partes Ae B diretamente proporcionais a c e d e
inversamente proporcionais a p e q, deve-se decompor este número M em duas partes A
e B diretamente proporcionais a c/q e d/q, basta montar um sistema com duas equações
e duas incógnitas de forma que A+B=M e além disso:

O valor de K proporciona a solução pois: A=Kc/p e B=Kd/q.

Exemplo: para decompor o número 58 em duas partes A
e B diretamente
proporcionais a 2 e 3, e, inversamente proporcionais a 5 e 7, deve-se montar as
proporções:

Assim: A=(2/5).70=28 e B=(3/7).70=30.

Exemplo: para obter números A
e B diretamente proporcionais a 4 e 3 e
inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre eles é 21. Para
resolver este problema, basta escrever que A-B=21 e resolver as proporções:

Assim A=(4/6).72=48 e B=(3/8).72=27.

Divisão em n partes, direta e inversamente proporcionais

Para decompor um número M em n partes X, X, …, X
diretamente proporcionais a p,

12n
1

p, …, p
e inversamente proporcionais a q, q, …, q, basta decompor este número M em

2n
12n

n partes X, X, …, X
diretamente proporcionais a p/q, p/q, …, p/q
.

12n
1122nn

5Observe que existem proporções com números fracionários

11

A
montagem do sistema com n equações e n incógnitas exige que X
+X
+…+X
=M e

12
n

além disso

Asolução segue das propriedades das proporções:

Exemplo: para decompor o número 115 em três partes A, B e C, diretamente
proporcionais a 1, 2 e 3 e inversamente proporcionais a 4, 5 e 6, deve-se montar um
sistema com 3 equações e 3 incógnitas de forma de A+B+C=115 e tal que:

logo A=(1/4)100=25, B=(2/5)100=40 e C=(3/6)100=50.

Exemplo: determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 1, 10 e 2 e
inversamente proporcionais a 2, 4 e 5, de modo que 2A+3B-4C=10.

Amontagem do problema fica na forma:

Asolução é A=50/69, B=250/69 e C=40/69.

Regra de Sociedade – link

Regra de sociedade é um procedimento matemático que indica a forma de distribuição
de um resultado (lucro ou prejuízo) de uma sociedade, sendo que os membros poderão
participar com capitais distintos e também em tempos distintos. Os capitais dos
membros participantes são indicados por: C
, C
, …, C
e os respectivos tempos de

12
n

participação destes capitais da sociedade por t
, t
, …, t
.

12
n

Definiremos o peso p
(k=1,2,…,n) de cada participante como o produto:

k

p = C t

k
kk,

12

e indicaremos o capital total como a soma dos capitais participantes:

C = C + C + … + C

12
n

ARegra de Sociedade é uma aplicação imediata do caso de decomposição de um valor
M diretamente proporcional aos pesos p
, p
, …, p
.

12
n

Exemplo: Ocorreu a formação de uma sociedade por três pessoas A, B e C,
sendo que Aentrou com um capital de R$50.000,00 e nela permaneceu por 40 meses, B
entrou com um capital de R$60.000,00 e nela permaneceu por 30 meses e C entrou com
um capital de R$30.000,00 e nela permaneceu por 40 meses. Se o resultado (que pode
ser um lucro ou um prejuízo) da empresa após certo período posterior, foi de
R$25.000,00, quanto deverá receber (ou pagar) cada sócio?

Os pesos de cada sócio serão indicados em milhares para não termos muitos
zeros nas expressões dos pesos. Desse modo:

p
=50×40=2000; p
=60×30=1800; p
=30×40=1200

12 3

A montagem do problema estabelece que A+B+C=25000 e além disso:

A solução segue das propriedades das proporções:

A participação de cada sócio é X=5(2000)=10000, Y=5(1800)=9000 e
Z=5(1200)=6000.

REGRA DE TRÊS

Embora os gregos e os romanos conhecessem as proporções, não chegaram a aplicá-
las na resolução de problemas. Na Idade Média, os árabes revelaram ao mundo a
“Regra de Três”. No século XIII, o italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios dessa
regra em seu Liber Abaci
(o “Livro do Ábaco”), com o nome de Regra dos três números
conhecidos.

Regra de Três Simples Direta
Uma regra de três simples direta é uma forma de relacionar grandezas diretamente
proporcionais. Para resolver problemas, tomaremos duas grandezas diretamente

13

proporcionais X e Y, e outras duas grandezas W e Z, também diretamente
proporcionais, de forma que tenham a mesma constante de proporcionalidade K.

X/Y=K e W/Z=K então X/Y=Y/Z

Exemplo: na extremidade de uma mola (teórica) colocada verticalmente, foi
pendurado um corpo com a massa de 10 Kg e verificamos que ocorreu um
deslocamento no comprimento da mola de 54 cm. Se colocarmos um corpo com 15 Kg
de massa na extremidade dessa mola, qual será o deslocamento no comprimento da
mola? (Kg=quilograma e cm=centímetro).

Representaremos pela letra X a medida procurada. De acordo com os dados
do problema, temos:

As grandezas envolvidas -massa e deslocamento -são diretamente proporcionais.
Conhecidos três dos valores no problema, podemos obter o quarto valor, X, e, pelos
dados da tabela, podemos montar a proporção:

10/15=54/X

Observamos que os números 10 e 15 aparecem na mesma ordem que
apareceram na tabela e os números 54 e X também aparecem na mesma ordem direta
que apareceram na tabela anterior e desse modo 10·X=15·54, logo 10X=810, assim
X=81 e o deslocamento da mola será de 81cm.

Regra de Três Simples Inversa

A
regra de três simples inversa é uma forma de relacionar grandezas inversamente
proporcionais para obter uma proporção.

Na
resolução
de
problemas,
consideremos
duas
grandezas
inversamente
proporcionais Ae B e outras duas grandezas também inversamente proporcionais C e D
de forma que tenham a mesma constante de proporcionalidade K.

AX B =K e C X D= K, donde AX B =C X D, logo A/C =D/B

Exemplo:

Ao participar de um treino de Fórmula 1, um corredor imprimindo a velocidade
média de 180 Km/h fez um certo percurso em 20s. Se a sua velocidade média fosse de
200 Km/h, qual seria o tempo gasto no mesmo percurso? (Km/h=quilômetro por hora,
s=segundo).

Representaremos o tempo procurado pela letra T. De acordo com os dados do
problema, temos:

14

Relacionamos grandezas inversamente proporcionais: velocidade e tempo
em um mesmo espaço percorrido. Conhecidos três valores, podemos obter um quarto
valor T. Ou seja, 180/200 =T/20

Os números 180 e 200 aparecem na mesma ordem que apareceram na tabela,
enquanto que os números 20 e T
aparecem na ordem inversa da ordem que
apareceram na tabela acima.

Assim, 180×20=200.X, donde 200X=3600 e assim X=3600/200=18. Se a
velocidade do corredor for de 200 Km/h, ele gastará 18s para realizar o mesmo
percurso.

Regra de Três Composta

Regra de três composta é um processo de relacionamento de grandezas diretamente
proporcionais, inversamente proporcionais, ou uma mistura dessas situações. O
método funcional para resolver um problema dessa ordem é montar uma tabela com
duas linhas, sendo que a primeira linha indica as grandezas relativas à primeira situação
enquanto que a segunda linha indica os valores conhecidos da segunda situação.

Se A1, B1, C1, D1, E1, … são os valores associados às grandezas para uma primeira
situação e A2, B2, C2, D2, E2, … são os valores associados às grandezas para uma
segunda situação, montamos a tabela abaixo lembrando que estamos interessados em
obter o valor numérico para uma das grandezas, digamos Z2
se conhecemos o
correspondente valor numérico Z1 e todas as medidas das outras grandezas.

Quando todas
as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z,
resolvemos a proporção:

Quando todas
as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z,
exceto a segunda grandeza (com a letra B, por exemplo) que é inversamente
proporcional à grandeza Z, resolvemos a proporção com B1 trocada de posição com B2:

15

As grandezas que forem diretamente proporcionais à grandeza Z são
indicadas na mesma ordem (direta) que aparecem na tabela enquanto que as
grandezas que forem inversamente proporcionais à grandeza Z aparecerão na ordem
inversa daquela que apareceram na tabela.

Por exemplo, se temos cinco grandezas envolvidas: A, B, C, D e Z, sendo a
primeira Ae a terceira C diretamente proporcionais à grandeza Z e as outras duas B e D
inversamente proporcionais à grandeza Z, deveremos resolver a proporção:

Observação: Problema difícil é analisar, de um ponto de vista lógico, quais
grandezas são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. Como é
muito difícil realizar esta análise de um ponto de vista geral, apresentaremos alguns
exemplos para entender o funcionamento da situação.

Exemplos:

Funcionando durante 6 dias, 5 máquinas produziram 400 peças de uma
mercadoria. Quantas peças dessa mesma mercadoria serão produzidas por 7
máquinas iguais às primeiras, se essas máquinas funcionarem durante 9 dias?

Vamos representar o número de peças pela letra X. De acordo com os dados
do problema, vamos organizar a tabela:

A
grandeza Número de Peças (C) servirá de referência para as outras
grandezas. Analisaremos se as grandezas Número de máquinas (A) e Número de dias

(B) são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais à grandeza C que
representa o Número de peças. Tal análise deve ser feita de uma forma independente
para cada par de grandezas.
Quando consideramos as grandezas Número de peças e Número de
máquinas, devemos fazer uso de lógica para constatar que se tivermos mais máquinas
operando, produziremos mais peças e se tivermos menos máquinas operando
produziremos menos peças. Assim temos que estas duas grandezas são diretamente
proporcionais.

Vamos agora considerar as grandezas Número de Peças e Número de Dias.
Novamente devemos usar a lógica para constatar que, se tivermos maior número de
dias, produziremos maior número de peças; e se tivermos menor número de dias,

16

produziremos menor número de peças. Assim temos que estas duas
grandezas também são diretamente proporcionais.

Concluímos
que
todas
as
grandezas
envolvidas
são
diretamente
proporcionais, logo, basta resolver a proporção: 400/x =(5×6)/(7×9), que pode ser posta
na forma 400/x =30/63.

Resolvendo a proporção, obtemos X=840. Assim, se as 7 máquinas
funcionarem durante 9 dias serão produzidas 840 peças.

2. Um motociclista, rodando 4h por dia, percorre em média 200 Km em 2 dias.
Em quantos dias esse motociclista irá percorrer 500 Km, se rodar 5 h por dia? (h=hora,
Km=quilômetro).
Vamos representar o número de dias procurado pela letra X.
De acordo com os dados do problema, vamos organizar a tabela do seguinte
modo:

Agrandeza Número de dias (C) é a que servirá como referência para as outras
grandezas. Analisaremos se as grandezas Quilômetros (A) e Horas por dia (B) são
diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais à grandeza C que representa

o Número de dias. Tal análise deve ser feita de uma forma independente para cada par
de grandezas.
Consideremos as grandezas Número de dias e Quilômetros. Usaremos a
lógica para constatar que, se rodarmos maior número de dias, percorreremos maior
quilometragem; e se rodarmos menor número de dias, percorreremos menor
quilometragem.
Assim,
temos
que
estas
duas
grandezas
são
diretamente
proporcionais.

Na outra análise, vamos agora considerar as grandezas Número de Dias e
Horas por dia. Verificar que, para realizar o mesmo percurso, se tivermos maior número
de dias utilizaremos menor número de horas por dia; e se tivermos menor número de
dias, necessitaremos maior número de horas para o mesmo percurso. Logo, estas duas
grandezas são inversamente proporcionais e, desse modo: 2/5 =(200×5)/(500×4), que
pode ser posta como 2/X =1000/2000.

Resolvendo esta proporção, obtemos X=4, significando que, para percorrer
500 Km, rodando 5 h por dia, o motociclista levará 4 dias.

PORCENTAGEM

Observamos nos meios de comunicação, praticamente todos os dias, expressões
matemáticas relacionadas com porcentagem. O termo “por cento” é proveniente do
Latim “per centum” e quer dizer “por cem”. Toda razão da forma a/b, na qual o
denominador b=100, é chamada taxa de porcentagem ou simplesmente porcentagem
ou ainda percentagem.
Historicamente, a expressão por cento aparece nas principais obras de aritmética de
autores italianos do século XV. O símbolo % surgiu como uma abreviatura da palavra
cento, utilizada nas operações mercantis.
Para indicar um índice de 10 por cento, escrevemos 10%. Isto significa que, em cada
100 unidades de algo, tomaremos 10 unidades. 10% de 80 podem ser obtidos como o
produto de 10% por 80, isto é:

17

Produto = 10%.80 = 10/100.80 = 800 / 100 = 8

Em geral, para indicar um índice de M por cento, escrevemos M% e, para
calcular M% de um número N, realizamos o produto:

Produto = M%.N = M.N / 100

PREÇOS DE CUSTO E DE VENDA, LUCROS E PREJUÍZOS

Em economia, contabilidade, finanças e negócios, preço é o valor monetário expresso
numericamente associado a uma mercadoria, serviço ou patrimônio. O conceito de
preço é central para a microeconomia, onde é uma das variáveis mais importantes na
teoria de alocação de recursos (também chamada de teoria dos preços).

6

R. W. Pfouts
conceitua preço como a medida do valor de troca de um bem ou serviço,
em termos monetários ou em termos de outro bem que tenha grande aceitação. Esse
termo é também empregado no sentido de prêmio ou compensação, como na
expressão “o preço do esforço”, ou num sentido mais vago, quase figurado, como em
“as mercadorias a que se renuncia são o preço da poupança, já que o indivíduo deixa de
despender toda a sua renda”.
O preço é fundamentalmente um quociente que indica os termos da troca de bens e
serviços. Assim, numa sociedade primitiva, duas facas podem ser trocadas por um
bezerro. Frequentemente se escolhe uma mercadoria para servir como numerário ou
padrão em relação às outras mercadorias. Os metais preciosos servem tanto como uma
mercadoria desejada para fins particulares, quanto como uma unidade de valor e de
troca. Quando mercadorias uniformes, como ouro, prata, ferro são adotadas como
numerário, estabelece-se um sistema de preços monetário. Nas economias
avançadas, o dinheiro (que implica a existência de crédito) não é desejado pelo seu
valor intrínseco, mas porque pode ser trocado por bens e serviços.

Em Marketing, preço é uma das quatro variáveis no Composto Mercadológico, ou
“marketing mix”, que os mercadólogos usam para desenvolver um plano de marketing.
Segundo Jay Conrad Levinson, 14% dos consumidores decidem suas compras
baseando-se exclusivamente no preço. Computa-se no preço não apenas o valor
monetário de um produto, mas tudo aquilo que o consumidor tem que sacrificar ao
adquirir um bem.

Apalavra apreçamento, com o sentido de estabelecimento de um preço, refere-se por
vezes a preços administrados, ou seja, preços que não são completamente
determinados pela relação existente no mercado entre oferta e procura, mas podem ser
determinados, dentro de certos limites, pela firma comercial vendedora. O limite dentro
do qual uma firma poderá administrar os preços é determinado pela situação da procura
e pelos objetivos da própria firma: maximização dos lucros, ampliação do mercado etc.

6PFOUTS, R.W –Dicionário de Ciências Sociais –Fundação Getúlio Vargas/MEC –Rio, 1987 –pág. 962

18

O verdadeiro preço de alguma coisa é o trabalho e a dificuldade para adquiri-la. Por isso,
os mercadólogos incluem em suas considerações os custos indiretos, custos de
manutenção, a necessidade de recompra, e mesmo a energia física, o tempo e o custo
emocional de se adquirir uma oferta.

O
preço
de
venda
é
o
valor
que
deverá
cobrir
o
custo
direto
da
mercadoria/produto/serviço, as despesas variáveis, como impostos, comissões, etc.,
As despesas fixas proporcionais, ou seja, aluguel, água, luz, telefone, salários, prólabore,
etc., e ainda, sobrar um lucro líquido adequado.

Preço de custo: Trata-se do valor de aquisição dos produtos ou mercadorias mais os
custos necessários para disponibilizá-los à produção ou venda, podendo ser mão-deobra,
fretes, energia, estocagem etc.

CUSTOS

Custos são medidas monetárias dos sacrifícios financeiros com os quais uma
organização, uma pessoa ou um governo, têm de arcar a fim de atingir seus objetivos,
sendo considerados esses ditos objetivos, a utilização de um produto ou serviço
qualquer, utilizados na obtenção de outros bens ou serviços. AContabilidade Gerencial
incorpora esses e outros conceitos econômicos para fins de elaborar Relatórios de
Custos de uso da Gestão Empresarial.

No Brasil, o Decreto-Lei 1.598/77, em seu artigo 14, determina que: “o contribuinte que
mantiver sistema de contabilidade de custo integrado e coordenado com o restante da
escrituração poderá utilizar os custos apurados para avaliação dos estoques de
produtos, principalmente para fins fiscais”.

Sob a ótica contábil, custos ou são gastos que a entidade realiza com o objetivo de por o
seu produto pronto para ser comercializado, fabricando-o ou apenas revendendo-o, ou

ode cumprir com o seu serviço contratado. Uma diferença básica para a despesa é que
“custo” traz um retorno financeiro e pertence à atividade-fim, pela qual a entidade foi
criada (determinada no seu Contrato Social, na cláusula Do Objeto). Já despesa é um
gasto com a atividade-meio e não gera retorno financeiro, apenas propicia certo
“conforto” ou funcionalidade ao ambiente empresarial.
Arazão para se classificar os gastos correntes de uma entidade em despesas e custos é
que o primeiro vai direto para o resultado do período. Já “custos” irão formar um estoque
(na produção de um bem) e, na sua realização (venda), serão finalmente levados ao
resultado, o que poderá levar meses ou até anos.

Custos industriais geralmente são: matéria prima, energia consumida (eletricidade e/ou
combustíveis), água consumida, materiais industriais diversos, mão de obra,
depreciação dos itens imobilizados de produção, entre outros.

19

Custeio Direto (ou Variável): é um método de custeio usado para alocação apenas dos
custos variáveis ao produto. Segundo Leoni “o sistema de custeio variável ou direto é
um método que considera apenas os custos variáveis de apropriação direta como custo
do produto ou serviço”. Segundo Lopes de Sá (1990, p. 108) diz que o custeio variável é
“o processo de apuração de custo que exclui os custos fixos”. Segundo Meglioni
“enquanto no custeio por absorção eles são rateados aos produtos, no custeio variável,
são tratados como custos do período, indo diretamente para o resultado igualmente as
despesas”. Adiminuição da necessidade de rateio deve-se ao fato de que no sistema de
custeio variável, são alocados aos produtos e/ou serviços, somente os custos variáveis
e, como na maioria dos casos, os custos variáveis também são diretos, não alocando os
rateios dos custos indiretos. Ele é usado para eliminar qualquer distorção na apuração
dos custos oriundos de problemas com rateios pois os custos fixos são tratados como
despesas.

Custeio por absorção (ou integral): o sistema de custeio por absorção é o sistema que
apura o valor dos custos dos bens ou serviços, tomando como base todos os custos da
produção incluindo os custos diretos, indiretos, fixos e variáveis. Segundo Meglioni, “o
custeio por absorção é o método que consiste em atribuir aos produtos fabricados todos
os custos de produção, quer de forma direta ou indireta. Assim todos os custos, sejam
eles fixos ou variáveis, são absorvidos pelos produtos.”

Custo-padrão: são custos predeterminados, porém, diferentemente dos custos
estimados, são calculados com base em parâmetros operacionais, e utilizados em
operações repetitivas de produção, onde não compensaria calcular o custo individual
de cada repetição.

Custeio ABC: a alocação dos custos indiretos é baseada nas atividades relacionadas.

GECON (Modelo Gestão Econômica) é um modelo de mensuração de custos baseado
em gestão por resultados econômicos. Também conhecido por “Grid Economics and
Business Models Work”.

Custo-meta: o custo-meta, também conhecido como “Target Costing”, é uma estratégia
de gestão de custos que, a partir do preço de mercado e de uma margem de lucro
desejada, estabelece um teto de custo para os produtos ou serviços.

Custos Fixos: são os custos que, embora tenham um valor total que não se altera com a
variação da quantidade de bens ou serviços produzidos, seu valor unitário se altera de
forma inversamente proporcional à alteração da quantidade produzida. Ex.: o
pagamento de aluguel.

Custos Variáveis: são os custos que, em bases unitárias possuem um valor que não se
altera com alterações nas quantidades produzidas, porém, cujos valores totais variam
em relação direta com a variação das quantidades produzidas. Ex.: Matéria prima.

Custos Totais: é a soma de Custos Variáveis mais Custos Fixos, representado pela
formula CT=CF+CV.

Custos Diretos: são os custos suscetíveis de serem identificados com os bens ou
serviços resultantes, ou seja, têm parcelas definidas apropriadas a cada unidade ou lote
produzidos. Geralmente são representados por mão-de-obra direta e pelas matérias
primas.

20

Custos indiretos: todos os outros custos que dependem da adoção de algum critério de
rateio para sua atribuição à produção. No jargão da contabilidade brasileira, eles são
chamados de CIF, de Custos Indiretos de Fabricação.

Lucros e Prejuízos

Lucro é o retorno positivo de um investimento feito por um indivíduo ou uma pessoa nos
negócios. Já o prejuízo financeiro ocorre quando alguém ou alguma instituição gasta
mais do que arrecada. Em contabilidade, o prejuízo é o oposto do lucro. Ambos são
saldos na conta denominada “resultados” ou “lucros e perdas”, que podem ocorrer ao
final do exercício (em geral, um período de doze meses). Para fins de informação dos
usuários da contabilidade, as grandes corporações são obrigadas a publicar
periodicamente uma “demonstração de resultados” (uma das “demonstrações
financeiras”), também conhecida como “balanço de resultado econômico” ou
“demonstrativo de lucros e perdas”, nas quais são decompostas analiticamente as
partes componentes que resultaram no lucro ou prejuízo do exercício.

Outro demonstrativo, o de lucros ou prejuízos acumulados, informa o saldo acumulado
resultante da soma algébrica dos resultados dos exercícios passados.

7

Segundo os princípios da Economia Aziendal
, o lucro pode ser originário do
funcionamento (lucro operacional) e do crédito (lucro da gestão econômica). De acordo
com a estrutura das Demonstrações Contábeis de Resultados utilizados no Brasil, o
lucro é desdobrado nas seguintes categorias:

Lucro Bruto: diferença positiva de Receitas menos Custo e despesas;

Lucro Operacional: diferença positiva do lucro bruto e das despesas operacionais;

Lucro não operacional: resultado positivo das receitas e despesas não operacionais;

Lucro Líquido: diferença positiva do lucro bruto menos o lucro operacional e o não
operacional;

Lucro a ser distribuído: lucro líquido menos a quantia destinada a Reservas de Lucros
ou compensada com os Prejuízos Acumulados;

A
legislação tributária criou outras categorias de Lucro, a saber (vide Contabilidade
tributária):

Lucro Real: Base de Cálculo do Imposto de Renda das pessoas jurídicas.
(Contabilmente, seria o Lucro Líquido menos as adições e exclusões de despesas feitas
para fins de apuração do tributo citado).

Lucro Inflacionário: parcela do Lucro Real, composta do saldo credor da correção
monetária de balanços ajustado pelas variações monetárias e cambiais (e que podia ser
diferido, ou seja, devido em exercícios futuros).

7
Economia Aziendal, segundo a maioria dos compêndios de contabilidade, desde a formação das chamadas
partidas dobradas na configuração do então chamado Ativo (atividade) e Passivo (recursos envolvidos) de ou em
uma atividade qualquer operacional, ou que envolve consecução de objetivos; seria então, sua contabilização ou
esse devido objeto de contabilidade que é o que se chamou de Azienda e a sua economia ou consecução.

21

Lucro de Exploração: parte do Lucro Real formado pelas Receitas oriundas de
incentivos fiscais do Imposto de Renda (isenção ou redução).

Lucro Presumido: outra base de cálculo do imposto de renda, basicamente sobre
Receitas, e com escrituração simplificada no Livro Caixa.

JUROS

Histórico

Quando você vê em uma propaganda: “Compre uma televisão à vista por $ 1.000 ou a
prazo em 5 parcelas de $ 260” é provável que pensasse assim: “É melhor comprar a
prazo, pois prefiro pagar parcelado e, em apenas 5 meses, eu acabo de pagar.”

Mas você se esqueceu de um “detalhe”: 5 parcelas de $ 260 somam o equivalente a $

1.300 – que é 30% a mais do que a oferta à vista ($ 1.000). São em situações como
essas que levam a perceber como a Matemática Financeira é uma ferramenta útil na
análise de algumas alternativas de investimento ou financiamento de bens de consumo.
Ela consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação
financeira.
Juro é o preço ou a remuneração paga, em moeda, pela utilização de uma quantia, “o

8

ágio obtido em dinheiro vivo sobre liquidez futura”
. Com muita frequência os
economistas não se satisfizeram com essa definição banal, indagando o porquê da
existência do juro.

Em vista da atualíssima discussão, no Brasil, acerca dos juros impostos ao consumidor,
é oportuno aprofundar nosso conhecimento a partir da lembrança de que economistas
clássicos entendiam que ele deve ser pago a fim de possibilitar uma poupança
suficiente para permitir progresso pelo acúmulo de capital. Conquanto se admita
geralmente que alguma poupança seria possível sem a cobrança de juro, o montante
seria insignificante.

O juro tem sido considerado um “suborno” necessário para obrigar os que dispõem de
renda a consumir menos do que poderiam consumir. Sénior, um dos primeiros
economistas a oferecer uma explicação sem ambiguidades para esse termo, afirma que

9

“o juro compensa os sacrifícios da abstinência”
.

8KEYNES, J. M. The theory of the rate of interest. In: GAYER, A. D. [org.]. The lessons of monetary experience:
essays in honour of Irving Fisher. London, Mlen & Unwin, 1937. p. 145; MARSHALL, A. Money, credit ind
commerce. London, Macmillan, 1923. p. 73; OHLIN, B. G. Some notes on the Stockholm theory of savings and
invest-ment. In: The economic Journal. 1937. v. XLVII, p. 221-40; ROBERTSON, D. H. Essays in monetary theory.
London, P. S. Cing, 1940. p. 1-2).
9SENIOR, N.W. An outline of the science of politicd economy, 1836. 6. ed. London, Charles Griffin, 1872. p. 58-60;
ver também BOWLEY, M. Nassau sénior and classical economia. London, Allen & Unwin, 1937. p. 137-66.

22

Os socialistas, entretanto, desprezaram essa ideia, entendendo que, se a abstinência
traz sacrifício, então os Rothschilds e outros milionários devem ter sofrido atrozmente.
Sénior poderia naturalmente ter admitido que a prática de poupança pelos ricos não
envolvia qualquer sacrifício óbvio, ou não, acrescentando, porém que, sem o juro,
haveria um volume insuficiente de abstenção de consumo. K. Marx afirmou que os
capitalistas desejariam consumir e, ao mesmo tempo, adquirir poder através da
acumulação de propriedade. Ë claro que a análise marginal resolve a dificuldade, ao ver

o juro meramente como o custo de oportunidade da unidade marginal de poupança.
Quando pequenas poupanças representam suprimento marginal, então ocorre
“sacrifício” real.
Não obstante, a crítica socialista deixou os economistas numa posição embaraçosa. O
socorro veio através de uma mudança de ênfase que transformou abstinência em
preferência pelo tempo.

A
explicação do juro através do conceito da preferência pelo tempo foi desenvolvida
inicialmente no trabalho de W. S. Jevons e da escola austríaca, sobretudo E. Bohm-
Bawerk, que atribuiu ao homem uma “subestimação perspectiva das necessidades
futuras”10.

Para muitos, essa subestimação explica a preferência por bens presentes em relação a
bens disponíveis no futuro; a presença desse elemento não constitui, entretanto,
ingrediente necessário da teoria de preferência pelo tempo, exceto numa sociedade
estacionária.

“Tudo o que se faz necessário para existência do juro numa sociedade progressista é
que seus membros sintam alguma relutância em adiar o consumo da renda presente, a
fim de elevar a renda futura a um nível superior ao presente, a uma taxa mais que
limitada”11. Poucos economistas negam hoje a importância da preferência pelo tempo,
porém muitos julgam que a curva de poupança, na qual o volume de poupança é
apresentado como função da taxa de juro, tem pouca elasticidade em grande parte de
sua extensão.

Em 1936, J. M. Keynes enfatizou a preferência pela liquidez como uma compulsão para

opagamento de juros12.O juro deve ser pago porque as pessoas e as instituições têm a
alternativa de entesourar suas poupanças monetárias.
Julgava Keynes que um declínio do juro criava expectativa de uma volta em nível mais
alto. Quanto mais baixa a taxa de juros, mais forte o estímulo ao entesouramento, pois
toda queda na taxa de juros “reduz os ganhos decorrentes da iliquidez, disponíveis
como uma espécie de prêmio de seguro para compensar o risco da perda em conta de
capital, num montante igual à diferença entre os quadrados da velha e da nova taxa de
juros”.

10BOHM-BAVERK, E -The positive theory of capital. Trad. ingl. W. Smart. London, Macmillan, 1891. p. 285-424;
JEVONS, W. S. The theory of political economy, 1871. 4. ed. London, Macmillan, 1911. p. 71-4). Essa teoria foi
criticada e aperfeiçoada por J. A. Schumpeter, I. Fisher, F. A. Fetter, F. A. von Hayek e outros.
11
HAYEK, F. A. von. -The pure theory of capital. London, Routledge & Kegan Paul, 1941. p. 420)
12
KEYNES, J.M.- The general theory of employment, interest and money. London, Macmillan, 1936. p. 136-7,
145-6, 166-74, 202)

23

Como D. H. Robertson sempre se dispunha a observar, Keynes quase dizia que o juro
existe porque se espera que ele difira em grandeza do que é. Um melhor enunciado da
teoria de preferência pela liquidez diria que o juro não pode cair abaixo de um mínimo
devido à alternativa de entesouramento, mas que qualquer taxa acima desse mínimo é
adequada para induzir o desentesouramento(se não forem previstas taxas futuras mais
altas e se outras circunstâncias forem favoráveis). Com justiça, Robertson censurava
Keynes por deixar de acentuar que, numa situação de equilíbrio, a taxa de juros deve
satisfazer tanto à “conveniência marginal de guardar dinheiro” como à “inconveniência
marginal da abstenção de consumo”. Observou R. Harrod que o tomador de
empréstimo “terá de pagar o preço necessário para satisfazer o prestamista por esperar
ou o preço necessário a satisfazê-lo por preterir a liquidez, seja qual for o maior. Keynes

13

parece supor que o maior será o segundo
“.

Apesar da ênfase que dão à sua teoria favorita do juro, todos os economistas
reconhecem que a produtividade ou o rendimento do capital são um determinante do
juro. Entretanto, muita confusão é suscitada pela mistura de análises estáticas e
dinâmicas. Tanto J. A. Schumpeter como E. Bohm-Bawerk observaram que o
importante era a produtividade de valor e não a produtividade física.

Schumpeter14observou que, se não houvesse quaisquer novas mudanças técnicas ou
perturbações, e se o processo de acumulação de capital não fosse interrompido,
desapareceria a perspectiva de um produto-valor marginal. Negou que houvesse
qualquer razão para preferência pelo tempo ou consequente equilíbrio isento de risco
ou estado estacionário.

Também F. H. Knight15
sustentou que, sem crescimento e mudança contínuos, não
haveria razão para a preferência pelo tempo de Bohm-Bawerk. Assim, afirmou que,
apesar de suas negativas categóricas, Bohm-Bawerk defendia uma teoria da
produtividade.

O estado estacionário de Schumpeter, para Knight, era uma impossibilidade, pelo
menos em teoria, uma vez que não existem “limites para o uso do capital”. Qualquer
sociedade estacionária verdadeira seria o resultado de forças “não-econômicas” ou
sociológicas. As teorias do juro com base na produtividade refletem, assim, o fato de
que numa economia de livre iniciativa o motivo para a tomada de empréstimo está na
previsão de rendimento do investimento.

Embora um Estado socialista pudesse calcular os custos de maneira diferente, e ter
diferentes escalas de valores, precisaria também considerar os rendimentos para
efetuar um planejamento racional. Todavia, aqueles que defenderam a preferência pelo
tempo e a preferência pela liquidez prestaram uma contribuição importante, pois
mostraram que uma única teoria da produtividade jamais era completa em si mesma.
Atualmente um número cada vez menor de economistas subscreve qualquer uma das
posições extremas representadas por E. Bõhm-Bawerk, J. M. Keynes ou J. A.
Schumpeter. Num nível empírico, se reconhece a influência de pelo menos três
dimensões: perspectivas de lucro devidas a mudanças técnicas etc., preferência pela
liquidez, e poupança planejada. Aesta última pode-se acrescentar a preferência pelo
tempo. Num artigo aprovado por Keynes, D.C. McCord Wright demonstrou que “a
eficiência marginal do capital” afetava a taxa de juro através de variações induzidas em
L, procura de liquidez.

13HARROD, R -Towards a dynamic economics. London, Macmillan, 1948. p. 70.
14SHUMPETER, J. A. –“Theory of economic development” (Cambridge, Mass., Harvard Univ. Press, 1934)
15KNIGHT, F. H. Interest. In: SELIGMAN, E. R. A. [org.]. Encyclopedia of the social sciences.
New York, Macmillan, 1932. v. VIII, p. 134

24

Assim, é provável que a conclusão da maioria seja substancialmente a de que o juro
exerce sua influência em todos os mercados e que, em particular, opera
simultaneamente sobre a ‘margem tríplice’ da preferência pelo tempo (decisões de
consumo), sobre a produtividade marginal do capital (decisões de investimento) e sobre
a preferência pela liquidez.” (William L. Miller)

Cálculo

Juros Simples

Vimos que juro é toda compensação em dinheiro que se paga ou se recebe pela quantia
em dinheiro que se empresta ou que é emprestada em função de uma taxa e do tempo.
Quando falamos em juros, devemos considerar:

1.O dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado é chamado de capital.
2. A
taxa de porcentagem que se paga ou se recebe pelo aluguel do dinheiro é
denominada taxa de juros.
3.O tempo deve sempre ser indicado na mesma unidade a que está submetida a taxa, e
em caso contrário, deve-se realizar a conversão para que tanto a taxa como a unidade
de tempo estejam compatíveis, isto é, estejam na mesma unidade.
4. O total pago no final do empréstimo, que corresponde ao capital mais os juros, é
denominado montante.
Para calcular os juros simples j
de um capital C, durante t
períodos com a taxa
de 1% ao período, basta usar a fórmula:

Exemplos:

1.O preço à vista de um aparelho é de R$ 450,00. Aloja oferece este aparelho
para pagamento em 5 prestações mensais e iguais porém, o preço passa a ser de R$
652,00. Sabendo-se que a diferença entre o preço à prazo e o preço à vista é devida aos
juros cobrados pela loja nesse período, qual é a taxa mensal de juroscobrada por essa
loja?
Adiferença entre os preços dados pela loja é: 652,00 -450,00=202,50
Aquantia mensal que deve ser paga de juros é: 202,50 / 5 =40,50
Se X% é a taxa mensal de juros, então esse problema pode ser resolvido da

seguinte forma:
X% de 450,00 =40,50
X/100.450,00=40,50
450 X / 100 =40,50
450 X =4050
X=4050 / 450
X=9
Resposta: Ataxa de jurosé de 9% ao mês.

2. Uma aplicação feita durante 2 meses a uma taxa de 3% ao mês, rendeu R$
1.920,00 de juro. Qual foi o capital aplicado?
O
capital
que
a
aplicação
rendeu
mensalmente
de
juros
foi
de:
1920,00/2=960,00. Se o capital aplicado é indicado por C, esse problema pode ser
expresso por: 3% de C =960,00

3/100 C =960,00
3 C /100 =960,00
3 C =96.000

25

C=96.000/3=32.000,00Resposta: o capital aplicado foi de R$ 32.000,00.
Juros Comerciais e Juros Exatos
Existem situações onde o prazo de uma operação financeira é contado em dias,
enquanto a taxa de juros é indicada em alguma outra unidade de tempo maior (mês,
bimestre, trimestre, semestre, ano).
Acontagem do número de dias envolvidos nestas situações será feita, na prática, de
acordo com uma das convenções abaixo:
Prazo Comercial: Consideram-se todos os meses com 30 dias (mês comercial) e o ano
com 360 dias (ano comercial). Este é o caso mais frequente nos problemas de juros
simples e os juros calculados de acordo com esta convenção são chamados de juros
comerciais ou juros ordinários.
Prazo Exato: Consideram-se os dias transcorridos efetivamente entre as datas
apresentadas. Cada mês poderá ter 30 dias (para abril, junho, setembro e novembro),
28 dias (para fevereiro, sendo 29 se o ano for bissexto) ou 31 dias (para os demais
meses do ano). O ano terá um total de 365 dias (ou 366 dias se for bissexto). Os juros
calculados de acordo com esta convenção são chamados juros exatos.
Dado um conjunto com duas ou mais aplicações a juros simples, cada qual com seus
próprios valores de capital, taxa e prazo, dizemos que prazo médio é um prazo único tal
que, substituindo os prazos de cada uma das aplicações dadas, produzira o mesmo
total de juros das aplicações originais.
O prazo médio é sempre a média dos prazos ponderados pelos valores
correspondentes das taxas e dos capitais a eles associados.
Exemplo de exercício:
Três capitais de R$ 1.000,00, R$ 2.000,00 e R$ 3.000,00 foram aplicados às
taxas simples de 2%%, 3% e 4% ao mês durante três meses, dois meses ao mês,
respectivamente. Qual seria o prazo médio para estas três aplicações?
Prazo Médio = (6+12+12)/(2+6+12) = 30/20 = 1,5 (meses)

Portanto, o prazo médio seria de 1 mês e 15 dias. Isto significa que, se
trocássemos os três prazos por 1 mês e 15 dias, o total de juros produzidos pelas três
aplicações continuaria inalterado.

Taxa média é uma taxa única tal que, substituindo as taxas de cada uma das aplicações
dadas, produzira o mesmo total de juros das aplicações originais. A
taxa media é
sempre a média das taxas ponderadas pelos valores correspondentes dos prazos e dos
capitais a eles associados.

Exemplo de exercício:

26

Considerando as aplicações do exemplo anterior: R$ 1.000,00, R$ 2.000,00 e
R$ 3.000,00, as fixas de 2%%, 3% e 4% ao mês, durante 3, 2 meses, respectivamente.
Qual seria a taxa média para essas três aplicações?

Taxa Média = (6+12+12)/(3+4+3) = 30/10 = 3%. Isto significa que, se
trocássemos as três taxas (2%, 3% e 4%), todas para 3% a.m, o total de juros
produzidos pelas três aplicações continuaria inalterado.

DESCONTO
Em finanças, chama-se Desconto a diferença entre o Valor Nominal de um título (Valor
Futuro) “VF” e o Valor Presente ou Atual “VP” deste mesmo título [D =VF–VP]. Há dois
tipos básicos de descontos: Comerciais (por fora) ou Racionais (por dentro). Define-se
desconto como sendo o abatimento que o devedor faz jus quando antecipa o
pagamento de um título ou quando o mesmo é resgatado antes de seu vencimento, ou
ainda, como sendo o juro cobrado por um intermediário para antecipar o recebimento de
um título, que representa um direito de crédito futuro. É uma operação tradicional no
mercado financeiro e no comércio em geral. Notações comuns na área de descontos:

Descontos simples são obtidos com cálculos lineares, e os descontos compostos são
obtidos com cálculos exponenciais.

Desconto Simples: É aquele obtido em função de cálculos lineares (capitalização
simples). Distinguem-se dois tipos de descontos simples, o racional e o comercial ou
bancário. Desconto simples comercial ou simplesmente desconto por fora é o desconto
aplicado sobre o valor nominal, ou futuro do título, muito utilizado nas instituições
financeiras e no comércio em geral. O desconto comercial é uma convenção
secularmente aceita e amplamente utilizada nas operações comerciais e bancárias de
curto prazo, merecendo, por isso, toda atenção especial, pois por essa convenção
altera-se o conceito básico e verdadeiro da formação e da acumulação de juro,
implicando, consequentemente, na determinação de taxas efetivas (custo financeiro
efetivo). O cálculo desse desconto é análogo ao cálculo do juro simples.

O valor atual ou valor presente (VP) no desconto por fora, é calculado por:
VP=VF-D=VP=VF-VF.i.n =VP=VF (1-i.n) D =VF-VP

27

No cálculo do valor presente (atual) de um título pelo desconto comercial, o valor do
desconto corresponde a diferença entre o valor nominal do título e o seu valor atual,
logo:

dc=VF-VPc VPc =VF-dc VPc =VF . (1 –i . n)

Algumas observações importantes devem ser levadas em consideração na operação
dedesconto comercialoupor fora.

Observe que, quando a taxa for igual ao inverso do prazo ou maior que este inverso, a
adoção do desconto comercial simples nos conduz a um absurdo financeiro.

No caso do desconto comercial ou bancário, deverá ser considerado IOF de 0,0041%
ao dia, correspondendo a 0,123% a.m.

Existindo despesas administrativas, expressa em moeda corrente, essas devem ser
subtraídas do Valor Atual ou Valor Presente (VP), para se achar o Valor Líquido (VL) da
operação. Mas caso estejam na forma percentual (%), a fórmula para o cálculo do
desconto passa a ser:

d=VF x ( i x n + h ), onde: h =refere-se a taxa (%) de despesas administrativas
na sua forma unitária.16

Desconto Simples Racional (Por Dentro): também denominado de desconto verdadeiro
ou desconto por dentro, o Desconto Simples Racional é aquele aplicado sobre o valor
atual do título utilizando-se para o cálculo a taxa efetiva (no conceito do valor inicial
tomado como base do cálculo). O cálculo deste desconto funciona análogo ao cálculo
dos juros simples. O cálculo do desconto racional é feito sobre o Valor Atual ou Presente
do título.

O valor atual, no desconto por dentro, é dado por:
VP=VF / (1 + i n)
Cálculo do valor atual de um título pelo desconto racional
Sabemos que dr =VF–VP, portanto VP=VF–dr

Mas dr =VF . i . n / 1 + i . n
logo VPr =VF–VF . i . n / 1 + i . n
Evidenciando VF, temos:

16ANTONIK, Luis Roberto –Apostila do Centro Universitário UNIFA

28

Vpr=VF. (1–i.n / 1 + i .n) VPr =VF. (1 + i .n–i.n / 1 + i .n) VF. 1 / 1 + i .n VPr =

VF / 1 + i . n

Diferença entre os descontos comercial e racional:

Sendo dc =VF.i.n e dr =VF.i.n / 1 + i .n dc –dr=(VF.i.n-VF.i.n) / 1 + i .n
dc–dr=(VF . i . n (1 + i . n) –VF . i . n) / 1 + i . n dc –dr=VF . i . n (1 + i . n –1) / 1 + i . n dc –dr
=VF . i . n . i . n / 1 + i . n =dc–dr=dr . i . n dc =dr . i . n + dr dc =dr (1 + i . n)

Desconto Comercial Composto

O Desconto Comercial Composto (por fora) não é usado costumeiramente no Brasil e é
análogo ao cálculo do Juro composto. O que se faz é calcular a diferença entre o valor
nominal (valor futuro) e o valor atual (valor presente) do compromisso na data em que se
propõe seja feito o desconto. O desconto corresponde à quantia a ser abatida do valor
nominal e, o valor descontado é a diferença entre o valor nominal e o desconto.
Desconto Racional Composto
Desconto Racional Composto (por dentro) ou Desconto Composto Real é aquele obtido
pela diferença entre o Valor Nominal ou Valor Futuro (VF) e o Valor Atual ou Valor
Presente (VP) de um compromisso que seja saldado “n” períodos antes do seu
vencimento. Para uma melhor compreensão, podemos dizer que o desconto racional
composto passa a ser sinônimo de juro composto. Este tipo de desconto é muito
utilizado no Brasil.

Como D =VF-VPe como VF =VP(1 + i)n , então:

D=VF–VF (1+i)-n D =VF.[1-(1+i)-n]

O melhor estudo que se pode fazer com o desconto racional composto é considerar o
Valor Atual ou presente (VP) como o capital inicial de uma aplicação e o Valor Nominal
ou Futuro (VF) como o montante desta aplicação, levando em consideração que as
taxas e os tempos funcionam de forma similar nos dois casos.

Deste modo, a fórmula para cálculo do Valor Atual ou Valor Presente, com base
nos juros compostos, ficará:

CAPITALIZAÇÃO17

Até este ponto estudamos o juro durante uma unidade de tempo e desenvolvemos uma
fórmula para este Juro (lembre-se que J = C.i). Na prática, porém, os problemas
envolvem vários períodos de aplicação e, portanto, precisaremos estudar a geração
dos juros durante mais de uma unidade de tempo; para isso, devemos conhecer o
conceito de regime de capitalização.
Do ponto de vista das finanças, capitalização
é o processo de aplicação de uma
importância a uma determinada taxa de juros e de seu crescimento por força da

17CORTEZ, V. –Comentários de Matemática Financeira –
http://www.vemconcursos.com/ensino/index.phtml?page_autor=18

29

incorporação desses mesmos juros à quantia inicialmente aplicada. No sentido
particular do termo, capitalização é uma combinação de economia programada e
sorteio, sendo que o conceito financeiro acima exposto aplica-se apenas ao
componente “economia programada”, cabendo ao componente lotérico o papel de
poder antecipar, a qualquer tempo, o recebimento da quantia que se pretende
economizar ou de um múltiplo dela de conformidade com o plano.
No final de cada período de Capitalização que é previamente estipulado, os juros
produzidos são adicionados ao capital, passando a fazer parte do mesmo para efeito de
cálculo dos próximos juros. Assim, estamos diante de uma aplicação de juros
compostos. O título é livremente negociável, podendo ser vendido, trocado ou doado,
desde que seja formalizada junto a Sociedade de Capitalização a transferência
conjunta do cedente e cessionário. Assim, o cessionário sucede o cedente em todos os
seus direitos e obrigações.
Para a venda de um título de capitalização é necessário uma série de formalidades que
visam a garantia do consumidor. A
sociedade de capitalização deve submeter o seu
plano ao órgão fiscalizador do Sistema Nacional de Capitalização –SUSEP.
Histórico
Em 1850, Paul Viget, diretor de uma cooperativa de minérios da França, idealizou a
Capitalização, objetivando proporcionar auxílio financeiro aos sócios através de suas
próprias poupanças. O sistema era baseado em contribuições mensais, visando a
constituição de um capital garantido, pago no final de prazo previamente estipulado ou,
antecipadamente, através de sorteio.
No início do século XX, a capitalização tomou um grande impulso na França e de lá se
difundiu através dos países de origem latina. No Brasil, as atividades no setor de
Capitalização surgiram em 1929, tomando grande impulso na década de 30. Em 1947, o
número de companhias de capitalização operando no país já ascendia a dezesseis,
sediadas no Rio de Janeiro, São Paulo, Porto Alegre e Salvador. Na década de 50,
entretanto, o processo inflacionário acelerou-se de tal forma, que o sistema de
capitalização se tornou desinteressante para a clientela, pois o capital inicialmente
contratado era corroído pela incessante desvalorização da moeda. Com a instituição da
correção monetária em 1964, criaram-se as premissas básicas para o ressurgimento da
capitalização, embora esse processo só tenha deslanchado mesmo dez anos depois,
quando surgiram no Brasil muitas novas empresas.
Chamaremos de regime de capitalização a maneira como os juros, e por que não, o
montante, evolui através de vários períodos de aplicação, aos quais a taxa se refere.
Existem dois tipos de regime de capitalização:
Regime de Capitalização SimplesÉ o regime de capitalização em que a taxa de juro incide somente e sempre sobre o
capital inicial. Portanto, em todos os períodos de aplicação, os juros serão sempre
calculados através do produto do capital inicial pela taxa de juro (J =C.i).

Exemplo:

a) Seja a aplicação de um capital de $1.000,00 à taxa de juro de 10% a.m.,
durante três meses, no regime de capitalização simples. Calcule os juros totais e o
montante?
Solução:
Sabemos que o regime é de capitalização simples e que C = $1.000,00 e i =
10% a.m. Então no fim do primeiro mês teremos:

J1=C.i logo J1 =1.000. 10%
J1=$100,00
No fim do segundo mês teremos:
J2=C.i logo J2 =1.000. 10%

30

J2=$100,00

No fim do terceiro mês teremos:

J3=C.i logo J3 =1.000. 10%

J3=$100,00

Logo, os juros totais poderão ser calculados através da soma dos juros em
cada período (mês):

J=J1+ J2+ J3

J=100 + 100 + 100

J=$300,00

O montante (M) será o capital acrescido dos juros totais, isto é:

M=C + J

M=1000 + 300

M=$1.300,00

Regime de Capitalização Composta

É o regime de capitalização em que a taxa de juro incide sobre o montante obtido no
período anterior, para gerar juro no período atual. Portanto, em cada período de
aplicação, os juros serão calculados através do produto do montante do período
anterior pela taxa de juro. (J =M.i)

Um exemplo simples de capitalização composta é o da caderneta de poupança, onde
você deposita seu dinheiro em um mês esperando que no final do primeiro mês a
mesma já apresente um montante igual ao capital inicial mais os juros, que foram
gerados sobre o capital inicial (este era o único montante anterior), observe que a partir
do primeiro mês, mesmo que você não deposite nada na caderneta de poupança, o
dinheiro lá existente vai rendendo juros sobre o capital inicial e sobre os juros que já
estão na conta, sendo este processo conhecido como juros sobre juros ou capitalização
composta.

Exemplo:

b) Seja a aplicação de um capital de $1.000, a taxa de juro de 10% a.m., durante três
meses, no regime de capitalização composta. Calcule os juros totais e o montante?
Solução:

A
situação é análoga a do exemplo anterior, sendo que o regime agora é de
capitalização composta, C =$1.000,00 e i =10% a.m.

Até o fim do primeiro mês temos uma unidade de tempo, logo, o juro em um mês será:

J=C.i logo J
= 1.000 . 10%

1 1

J1=$100,00

31

M
= C + J =

1
1.000 + 100
M
= $ 1.100,00

1

Para formar o juro do segundo mês, a taxa de juro incidirá sobre o montante do fim do
primeiro mês. Logo:

J=M.i logo J
= 1.100 . 10%

2 1
2

J
= $ 110,00

2

E o montante do segundo mês será:
M2 =C + J
+ J
2

1

M
= 1.000 + 100 + 110

2

M
= $ 1.210,00

2

Para formar o juro do terceiro mês, a taxa de juro incidirá sobre o montante no fim do
segundo mês. Então:

J
= M.i

32

J
= 1.210 . 10%

3

J
= $121,00

3

E o montante ao final do terceiro mês será:

C + J
+ J
+ J
3
M3 =1.000 + 100 +110 +121
M3 =$1.331,00
Asoma dos juros totais será de:
J=J+ J+ J

M3 = 1 2

123

J=100 + 110 + 121
J=$ 331,00

Comparação entre os Regimes de Capitalização Simples e Composta

De acordo com os exemplos anteriores, referentes à capitalização simples e composta,
os resultados obtidos foram dispostos na tabela seguinte de forma a permitirem uma
melhor comparação:

Observações: Independentemente do regime de capitalização, o aluno pode reparar
que o juro e o montante obtidos ao final do primeiro mês de capitalização serão

32

sempre os mesmos. Daí se pode concluir que ao considerarmos um período únicode tempo, não há diferença entre os regimes de capitalização, não havendo sentido
em se distinguir, para apenas um período, a capitalização simples da capitalização
composta. Isto se dá por que ao final do primeiro período os juros compostos são
calculados sobre o montante do período anterior, que neste momento é o capital inicial,
ficando igual ao cálculo dos juros simples. Veja:
J = M.i = C.i (para o primeiro período).
Observe ainda que, no regime de capitalização simples, o montante aumenta de acordo
com uma progressão aritmética, onde o montante sofre uma variação linear em relação
aos juros (no exemplo, a razão é 100, ou seja, a cada período o montante sobe de um
valor constante e igual a 100). Já no regime de capitalização composta, o montante
varia de acordo com uma progressão geométrica, onde o montante aumenta segundo
uma variação exponencial em relação aos juros (a razão da progressão geométrica é
dada por (1 + i) =(1,1). Desse modo, em se tratando de juros ou rendimentos linearesestamos falando do regime de capitalização simples e em se tratando de juros ou
rendimentos exponenciaisestamos falando do regime de capitalização composta.
Observação: Será adotada a convenção de que os juros serão devidos ao final
de cada período de tempo a que se refere a taxa de juros considerada. Esta forma de se
capitalizar os juros é também conhecida como juros postecipados.
INFLAÇÃO
Em economia, inflação é a queda do valor de mercado ou poder de compra do dinheiro.
Isso é equivalente ao aumento no nível geral de preços. Inflação é o oposto de deflação.
Inflação zero, ou muito baixa, é uma situação chamada de estabilidade de preços.
Em alguns contextos, a palavra inflação é utilizada para significar um aumento no
suprimento de dinheiro e a expansão monetária, o que é às vezes visto como a causa do
aumento de preços; alguns economistas (como os da Escola austríaca) preferem o
primeiro significado, em vez de definir inflação pelo aumento de preços. Assim, por
exemplo, alguns estudiosos da década de 1920 nos Estados Unidos referem-se à
inflação, ainda que os preços não estivessem aumentando naquele período. Mas, de
um modo geral, a palavra inflação é usada como aumento de preços, a menos que um
significado alternativo seja expressamente especificado. Outra distinção também se faz
quando se analisam os efeitos internos e externos da inflação: externamente, a inflação
se traduz mais por uma desvalorização da moeda local frente a outras, e internamente
ela se exprime mais no aumento do volume de dinheiro e aumento dos preços.
Um exemplo clássico de inflação foi o aumento de preços no Império Romano, causado
pela desvalorização dos dinares que, antes confeccionados em ouro puro, passaram a
ser fabricados com todo tipo de impurezas. O imperador Diocleciano, ao invés de
perceber essa causa, já que a ciência econômica ainda não existia, culpou a avareza
dos mercadores pela alta dos preços, promulgando em 301 um edito que punia com a
morte qualquer um que praticasse preços acima dos fixados.
A inflação pode ser contrastada com a reflação, que é ou um aumento de preços de um
estado deflacionado, ou alternativamente, uma redução na taxa de deflação (ou seja,
33

situações em que o nível geral de preços está caindo em uma taxa decrescente). Um
termo relacionado é desinflação, que é uma redução na taxa de inflação, mas não o
suficiente para causar deflação.

A
inflação será estudada mais detalhadamente na seção de Economia e
Mercados. Vale, entretanto, observar como a economia brasileira sofreu com inflação
alta até 1994, entrando num processo de hiperinflação na década de 80. Esse processo
só foi interrompido em 1994, com a criação do Plano Real e a mudança da moeda para o
real (R$). Observe o quadro:

A moeda nacional do Brasil mudou de nome várias vezes, principalmente nos períodos
de altos índices de inflação. Na maioria das renomeações monetárias, foram cortados
três dígitos de zero, estratégia esta que impediu que um quilo de carne custasse cerca
de quatro milhões de unidades da moeda vigente, por exemplo.

TÍTULOS DE CRÉDITO

Crédito é uma palavra de origem latina, que significa crer ou confiar. Crédito, no sentido
econômico ou comercial, significa confiança de que a pessoa que pediu emprestado
devolva ao emprestador o objeto do empréstimo ou, em outras palavras, que o devedor
satisfaça o compromisso assumido, ou pague a dívida contraída.
O crédito é, portanto, a faculdade de usar de um capital alheio, mediante o compromisso
de devolvê-lo a seu dono no prazo estipulado. O juro é a remuneração a que tem direito

o dono do capital pelo empréstimo.
A apreciação, o juízo favorável, enfim, que o possuidor do capital fizer de outra pessoa
ou de um grupo de pessoas é o que determinará a efetivação ou não da concessão de
crédito.
Crédito é, assim o elemento subjetivo; a base de tudo é a confiança, mas ela tem um
fundamento positivo estabelecido pela garantia material que o devedor possa oferecer
para o resgate da dívida ou pelo conceito moral de que ele goze. Nas relações de
negócio está excluída a generosidade ou magnanimidade. O comercio é feito à base da
segurança e ninguém que possua capital consente em privar-se dele senão com a
garantia da sua restituição na época determinada.
O capital em dinheiro está muitas vezes ocioso em mão de quem não tem aptidões para
empregá-lo. Passando para outras mãos mais hábeis e indo constituir um fator de
utilidades, desempenhará o papel que lhe compete na produção.
O elemento principal no crédito e o cronológico. Sem o fator tempo, que se denomina
prazo, não haverá crédito.
“É costume definir o crédito como sendo a troca de uma riqueza presente por uma
riqueza futura”.
O crédito pode ser também definido como um direito presente a um futuro pagamento.
O fator confiança, no crédito, assume importância vital, porque nas operações de
34

crédito há entrega de moeda em troca de uma promessa de reembolso se a operação
for dinheiro, como há também transferência das utilidades, das mercadorias, dos
serviços, em troca de promessas de seu pagamento, em ou no próprio gênero da
recebida.
O crédito não deixa de ser uma transferência de capital que tem como objetivo o auxilio
eficaz ao aumento da produção.
Convém, no entanto, acentuar que o crédito transfere mas não cria riquezas.
O crédito estimula, incentiva, facilita a produção de riquezas, mas, em si mesmo, é
apenas um meio, um instrumento. Assim, os papéis representativos de uma obrigação e
emitidos de conformidade com a legislação específica denominam-se títulos de crédito.
Adefinição mais corrente para título de crédito, elaborado por Vivante, é “documento
necessário para o exercício do direito, literal e autônomo, nele mencionado”. Os
elementos fundamentais para se configurar o crédito decorrem da noção de confiança e
tempo. A
confiança é necessária, pois o crédito se assegura numa promessa de
pagamento, e o tempo também, pois o sentido do crédito é, justamente, o pagamento
futuro combinado, pois se fosse à vista, perderia a idéia de utilização para devolução
posterior.
Aclassificação mais importante dos títulos de crédito é feita quanto a sua circulação, da
seguinte maneira:

* Títulos ao portador, que são aqueles que não expressam o nome da pessoa
beneficiada. Tem como característica a facilidade de circulação, pois se processa com a
simples tradição.
* Títulos nominativos, que são os que possuem o nome do beneficiário.
Portanto, tem por característica o endosso em preto
* Títulos à ordem, que são emitidos em favor de pessoa determinada,
transferindo–se pelo endosso.
Os tipos de títulos de crédito utilizados no Brasil são:

*A letra de câmbio: título que representa uma obrigação pecuniária, sendo o
mais usado em operações de crédito entre financiadoras e comerciantes. Aemissão da
letra de câmbio é denominada saque; por meio dele, o sacador (devedor), expede uma
ordem de pagamento ao sacado (normalmente uma instituição financeira), que fica
obrigado, havendo aceite, a pagar ao tomador (um credor específico), o valor
determinado no título.
Apesar de atribuir ao sacado a obrigação de pagar o tomador, o sacador permanece
subsidiariamente responsável pelo pagamento da letra. Não sendo pago o título no seu
vencimento, poderá ser efetuado o protesto e a cobrança judicial do crédito, que se dá
por meio da ação cambial. Porém, para que o credor possa agir em juízo, é necessário
que esteja representado por um advogado.
Quanto à possibilidade de transferência, diz-se que a letra de câmbio é um título de
crédito nominativo, ou seja, em favor de um credor específico, suscetível de circulação
mediante endosso. Assim, o endossante (tomador original), transfere a letra para um
endossatário (novo tomador).
No Brasil, a letra de câmbio é regulada principalmente pela Convenção de Genebra,
também conhecida como Lei Uniforme (Decreto 57.663/66), e também pelo Decreto Lei
n.º 2.044 de 31 de Dezembro de 1908. O Código Civil de 2002 tem valor supletivo (art.
903).

Nota Promissória

*A Nota Promissória, título cambiário em que seu criador assume a obrigação
direta e principal de pagar a soma constante no título. Anota promissória nada mais é do
que uma promessa de pagamento. Anota promissória é uma promessa de pagamento,
para seu nascimento são necessárias duas partes, o emitente ou subscritor (devedor),
35

criador da promissória no mundo jurídico, e o beneficiário ou tomador que é o credor do
título. Para exemplificar a constituição de uma nota promissória, tome-se a seguinte
hipótese: Pedro empresta R$ 1.000,00 (mil reais) ao seu amigo André, que por sua vez
se compromete a efetuar o pagamento do empréstimo em trinta dias, assim sendo,
emite uma nota promissória no valor do empréstimo onde o beneficiário é o Pedro, com
vencimento para trinta dias da data. Como nos demais títulos de crédito, a nota
promissória pode ser transferida a terceiro por endosso, bem como nela é possível a
garantia do aval. Caso a nota promissória não seja paga em seu vencimento, poderá ser
protestada, como ainda será possível ao beneficiário efetuar a cobrança judicial, a qual
ocorre por meio da ação cambial que é executiva, no entanto a parte só pode agir em
juízo se estiver representada por advogado legalmente habilitado.

A nota promissória é prevista no decreto 2044 de 31 de dezembro de 1908 e na Lei
Uniforme de Genebra. Suas características são as seguintes:

1. A denominação “nota promissória” lançada no texto do título.
2. Apromessa de pagar uma quantia determinada.
3. A época do pagamento, caso não seja determinada, o vencimento será
considerado à vista.
4. A indicação do lugar do pagamento, em sua falta será considerado o
domicílio do subscritor (emitente).
5. O nome da pessoa a quem, ou a ordem de quem deve ser paga a
promissória.
6.A indicação da data em que, e do lugar onde a promissória é passada, em
caso de omissão do lugar será considerado o designado ao lado do nome do subscritor.
7. A assinatura de quem passa a nota promissória (subscritor).
8. Assinatura de duas testemunhas, identidade e (ou) CPF e endereço das
mesmas.
9. Sem rasuras, pois perde o valor a nota promissória.

Legislação sobre a Nota Promissória: Decreto n. 57.663, de 24-1-1966, artigo
75 em diante.

A nota promissória também é conhecida no Brasil como “papagaio”, sendo
esta palavra empregada originalmente para promissórias de valor duvidoso. A provável
origem deste apelido está na figura do personagem Zé Carioca da Disney
representando a figura do típico malandro carioca.

Duplicata Mercantil

*A Duplicata Mercantil ou simplesmente duplicata é uma espécie de título de
crédito que constitui o instrumento de prova do contrato de compra e venda. Foi criada
pelo direito brasileiro: já o Código Comercial de 1850 previa, em seu art. 219, que nas
vendas por atacado o vendedor era obrigado a extrair, em duas vias, uma relação de
mercadorias vendidas, as quais eram assinadas pelo comprador, ficando cada via com
uma das partes contratantes. Humberto Piragibe Magalhães e Christóvão Piragibe
Tostes Malta (Dicionário Jurídico, 1º:371), definem a duplicata como o título de crédito
constituído por um saque vinculado a um crédito decorrente de contrato de compra e
venda mercantil ou de prestação de serviços igualado aos títulos cambiários por
determinação legal. É título casual, formal, circulável por meio de endosso e negociável.
Geralmente é título de crédito assinado pelo comprador em que há promessa de
pagamento da quantia correspondente à fatura de mercadorias vendidas a prazo.
A duplicata tem origem em uma só fatura, porém de uma só fatura podem ser extraídas
diversas duplicatas.
A duplicata deve ser apresentada ao devedor dentro de 30 dias de sua emissão, e ele
deverá devolvê-la dentro de 10 dias, com a sua assinatura de aceite ou declaração
escrita esclarecendo por que não a aceita. A duplicata paga, para segurança do
devedor, deve ser retirada de circulação, com quitação no próprio título, para que ele
não possa ser cobrado por algum endossário de má-fé.
A duplicata de prestação de serviços é título emitido por profissionais ou por empresas,
para cobrança de serviços prestados. É obrigatória nas vendas mercantis a prazo e
pode ser protestada por falta de pagamento, quando vencida.

Debêntures

*A debênture é um título de crédito representativo de empréstimo que uma
companhia faz junto a terceiros e que assegura a seus detentores direito contra a
emissora, nas condições constantes da escritura de emissão. Para emitir uma
debênture uma empresa tem que ter uma escritura de emissão, onde estão descritos
todos os direitos conferidos pelos títulos, suas garantias e demais cláusulas e
condições da emissão e suas características. A
expressão inglesa derivada —
debênture — é geralmente mais empregada no Brasil do que a sua correspondente
francesa “obligation”, também adotada na legislação brasileira (como obrigações). As
debêntures são valores mobiliários emitidos
pelas sociedades anônimas,
representativas de empréstimos contraídos pelas mesmas, cada título dando, ao
debenturista, idênticos direitos de crédito contra as sociedades, estabelecidos na
escritura de emissão. A captação de recursos pela sociedade através de debêntures
gera um lançamento contábil em seu ativo (caixa) e outro em seu passivo (circulante
e/ou exigível a longo prazo).

A finalidade desse tipo de financiamento é a de satisfazer,
de maneira mais econômica, as necessidades financeiras das sociedades por ações,
evitando, com isso, os contratempos das constantes e caras operações de curto prazo,
junto ao mercado financeiro. Dessa forma, as sociedades por ações têm à sua
disposição as facilidades necessárias para captação de recursos junto ao público, a
prazos longos e juros mais baixos, com atualização monetária e resgates a prazo fixo ou
mediante sorteio, conforme suas necessidades para melhor adequar o seu fluxo de
caixa.
Assim, uma vez identificada a necessidade de captação de recursos financeiros de
terceiros, para concretização de investimentos e para o cumprimento de obrigações
assumidas anteriormente, a administração da empresa levará ao Conselho de
Administração ou à Assembleia Geral proposta para que seja contraído empréstimo
público, normalmente a longo prazo, mediante a emissão de debêntures.
O Conselho ou a Assembleia, obedecendo ao que dispuserem os estatutos,
estabelecerá as características do empréstimo, fixando as condições de emissão, tais
como: montante, número de debêntures, prazo, data de emissão, juros, deságio,
amortizações ou resgates programados, conversibilidade ou não em ações,
atualização monetária, e tudo o mais que se fizer necessário, deliberando a respeito.
Uma vez aprovada a emissão de debêntures, cabe à administração da sociedade
praticar todos os atos necessários para a efetivação do empréstimo, mediante a
colocação dos títulos junto ao público, de forma a satisfazer as suas necessidades de
recursos.
Os debenturistas têm proteção legal por meio da escritura de emissão e do agente
fiduciário.
A escritura de emissão é um documento legal que especifica as condições sob as quais
a debênture foi emitida, os direitos dos possuidores e os deveres da emitente. Trata-se
de documento extenso contendo cláusulas padronizadas, restritivas e referentes à
garantia.

Da escritura constam, entre outras, as seguintes condições: montante da
emissão; quantidade de títulos e o valor nominal unitário; forma; condições de
conversibilidade; espécie; data de emissão; data de vencimento; remuneração; juros;
prêmio; cláusula de aquisição facultativa e/ou resgate antecipado facultativo; condições
de amortização.
O agente fiduciário é uma terceira parte envolvida na escritura de emissão, tendo como
responsabilidade assegurar que a emitente cumpra as cláusulas contratuais.

Convém observar que todos esses papéis espelham convenções para a transferência
de riquezas já existentes. Um título novo não cria nova riqueza e sim representa uma
riqueza existente. É um meio de transferência dessa riqueza.
O crédito pode ser concedido sem necessidade obrigatória de documento escrito. Os
instrumentos legais apenas enquadram o acordo feito dentro das normas, visando a
evitar desentendimento no final da operação. Verifica-se então, que o crédito pode ser
feito segundo a classificação seguinte:

a)a prazo curto (operações entre 1 dia e 6 meses)
b a prazo médio (operações entre 6 meses e 5 anos)
c)a prazo longo (operações acima de 5 anos)
Embora o crédito seja um só, na vida cotidiana costuma-se classificá-lo como crédito
público e crédito privado; o primeiro, vinculado aos créditos levantados pelo governo.
AMORTIZAÇÃO
Amortização é um processo de liquidação de uma dívida através de pagamentos
periódicos, que são realizados em função de um planejamento, de modo que cada
prestação corresponde à soma do reembolso do capital ou do pagamento dos juros do
saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos, sendo que os juros são sempre
calculados sobre o saldo devedor.
No Brasil, existe a amortização contábil, cujo conceito não se restringe à diminuição de
dívidas, mas também à direitos intangíveis classificados no ativo (conta de balanço),
derivado da teoria de dimensão econômica dos fundos contábeis. Assim, associa-se o
termo amortização contábil à depreciação contábil (redução de bens tangíveis) e à
exaustão contábil (recursos naturais).

Conceitos relacionados

Existem alguns termos que são usados no meio econômico/financeiro em relação à
amortização, e que é necessário conhecer. São eles:

Credor ou mutuante: É a pessoa que mutua, ou seja, que cede o empréstimo.
Devedor ou mutuário: É aquele que recebe alguma coisa por empréstimo.
•Taxa de juros: É a taxa acordada entre as partes. É sempre calculada sobre o
saldo devedor, também é chamada de custo do dinheiro.
Prazo de carência: Corresponde ao período compreendido entre o prazo de
utilização e o pagamento da primeira amortização.
Prazo de utilização: Corresponde ao intervalo de tempo durante o qual o
empréstimo é transferido do credor para o devedor.
Prazo de amortização: É o intervalo de tempo durante o qual são pagas as
amortizações.
Parcelas de amortização: Correspondem às parcelas de devolução do
principal.
Prestação: É a soma da amortização acrescida de juros e encargos.
Sistemas de amortização

Tabela Price, também chamada de Sistema Francês de Amortização: método usado em
amortização de empréstimo cuja principal característica é apresentar prestações (ou
parcelas) iguais. Este método foi apresentado em 1771 por Richard Price em sua obra
“Observações sobre Pagamentos Remissivos” (em inglês: “Observations on
Reversionary Payments”).

Fórmulas da Tabela Price aqui

O método foi idealizado pelo seu autor para pensões e aposentadorias. No entanto, foi a
partir da 2ª revolução industrial que sua metodologia de cálculo foi aproveitada para
cálculos de amortização de empréstimo.

A Tabela Price usa o regime de juros compostos para calcular o valor das parcelas de um
empréstimo e, dessa parcela, qual é a proporção relativa ao pagamento dos juros e a
amortização do valor emprestado.

Tomemos como exemplo um empréstimo de $ 1.000,00 com taxa de juros de 3% ao mês
a ser pago em 4 parcelas mensais. Para calcular o valor da parcela, deve-se usar a
fórmula de juros compostos combinada com a da progressão geométrica, resultando
em:

pmt

Onde
pmt: Valor da parcela
PV: Valor Presente (do inglês Present Value)

i:
Taxa de juros (do inglês Interest Rate)
n: Número de períodos
No caso do exemplo, o cálculo da pmt é:
Um mês depois do empréstimo, o saldo devedor cresce 3% indo para $
1.030,00, porém, como também deve ocorrer o pagamento de $ 269,03, o saldo
devedor passa a ser $ 760,97. Perceba que o pagamento da parcela cobriu os juros de $
30,00 e também fez a amortização de $ 239,03 (760,97 -30,00) do valor emprestado. O
mesmo ocorre nos meses seguintes, porém, como o saldo devedor diminui a cada mês,

o valor das parcelas relativo ao pagamento dos juros é decrescente.
Há uma grande polêmica em torno da tabela, que foi construída, segundo seu autor,
Richard Price (1803- 1812), por juros compostos, muitas vezes confundidos com
anatocismo (juros sobre juros).

A questão matemática foi entretanto após a expedição,
pelos principais autores de matemática financeira do Brasil, de manifesto cuja tônica é a
afirmativa de que a Tabela Price é construída com base no regime de capitalização por
juro composto sem, novamente, ser abordada a remota hipótese de existir o
anatocismo.

LEASING

Arrendamento mercantil, também conhecido pelo termo em inglês leasing, é um
contrato através do qual a arrendadora ou locadora (a empresa que se dedica à
exploração de leasing) adquire um bem escolhido por seu cliente (o arrendatário, ou
locatário) para, em seguida, alugá-lo a este último, por um prazo determinado. Ao
término do contrato o arrendatário pode optar por renová-lo por mais um período, por
devolver o bem arrendado à arrendadora (que pode exigir do arrendatário, no contrato, a garantia de um valor residual) ou dela adquirir o bem, pelo valor de mercado ou por um valor residual previamente definido no contrato.
O cliente deste tipo de crédito, é, tipicamente, uma empresa, podendo, no entanto, ser,
também, contratado por pessoa física.
O leasing é um contrato denominado na legislação brasileira como “arrendamento
mercantil” (Código Civil – link, arrendamento).

As partes desse contrato são denominadas “arrendador” e “arrendatário”,
conforme sejam, de um lado, um banco ou sociedade de arrendamento mercantil e, de
outro, o cliente. O objeto do contrato é a aquisição, por parte do arrendador, de bem
escolhido pelo arrendatário para sua utilização. O arrendador é, portanto, o proprietário
do bem, sendo que a posse e o usufruto, durante a vigência do contrato, são do
arrendatário. O contrato de arrendamento mercantil pode prever ou não a opção de
compra, pelo arrendatário, do bem de propriedade do arrendador.

Existem três formas de leasing:

Financeiro: semelhante a um aluguel, com a diferença que se pode comprar o
bem no final do prazo pré-determinado por um preço já estabelecido.

Operacional: a arrendadora é que arca com os custos de manutenção dos
equipamentos e a arrendatária pode desfazer o contrato bastando apenas esperar o
período mínimo de 90 dias do início do contrato como determina o Banco Central e aviso
prévio à empresa ou pessoa física contratante.

Leasing back: ocorre quando uma empresa necessita de capital de giro. Ela
vende seus bens a uma empresa que aluga de volta os mesmos.

Requisitos fundamentais para formação dos contratos de arrendamento mercantil: Art.
104 Código Civil Brasileiro.

Art. 104. A validade do negócio jurídico requer:

I – agente capaz;

II – objeto lícito, possível, determinado ou determinável;

III – forma prescrita ou não defesa em lei.

BIBLIOGRAFIA

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2.
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London, Macmillan, 1891. p. 285-424;
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Comentários de Matemática Financeira
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http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/razoes/divprop.htm
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