Regras de derivação


 

Sejam f (x) e g (x) funções deriváveis e seja a um número real qualquer. Então, valem as propriedades:

i) Se f (x) = a, então f ‘ (x) = 0.

ii) Se f (x) = ax, então f ‘ (x) = a.

iii) (Regra do tombo) Se f (x) = xa, então f ‘ (x) = a·xa – 1.

iv) (Derivada da soma) [f (x) + g (x)]’ = f ‘ (x) + g’ (x).

v) [af (x)]’ = a·f ‘ (x).

vi) (Regra do produto) [f (x) g (x)]’ = f ‘ (x) g (x) + f (x) g’ (x).

vii) (regra do quociente):

Exemplos:

Exemplo 1: Calcule a derivada de f (x) = x3

Pela regra do tombo:

f ‘ (x) = 3x3 – 1 = 3x2

Exemplo 2: Calcule a derivada de f (x) = 3x4

Pela regra do tombo:

f ‘ (x) = 4·3x4 – 1

f ‘ (x) = 12x3

Exemplo 3: Calcule a derivada de f (x) = √x

Pela regra do tombo:

f (x) = x1/2

f ‘ (x) = 1x1/2 – 1

f ‘ (x) = 1x–1/2
2

f ‘ (x) = 1
2x1/2

f ‘ (x) = 1
2√x

Exemplo 4: Calcule a derivada de f (x) = x2·(3x – 1)

Pode-se resolver esse problema pela simplificação do polinômio ou por meio da regra do produto:

f ‘ (x) = 2x(3x – 1) + x2(3 – 0)

f ‘ (x) = 6x2 – 2x + 3x2

f ‘ (x) = 9x2 – 2x

Exemplo 5: Calcule a derivada da função:

d (x) = 4x3 + 1
5x2

No caso da função d (x), temos as funções f (x) = 4x3 + 1 e g (x) = 5x2. Portanto, utilizando a regra do quociente, teremos:

Logo, pela regra do quociente, a derivada da função d (x) é dada por:

d ‘ (x) = 12x2·5x2 – (4x3 + 1)·10x
(5x2)2

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